Инструмент

Как разрезать квадрат на три прямоугольника

Как рассчитать квадратуру стен

Определение площади стен часто требуется при закупке отделочных материалов — обоев, штукатурки и т.п. Для этого расчета нужны дополнительные измерения. К имеющимся уже ширине и длине комнаты нужны будут:

  • высота потолков;
  • высота и ширина дверных проемов;
  • высота и ширина оконных проемов.

Все измерения — в метрах, так как квадратуру стен тоже принято измерять в квадратных метрах.

Удобнее всего размеры наносить на план

Так как стены прямоугольные, то и площадь считается как для прямоугольника: длину умножаем на ширину. Таким же образом вычисляем размеры окон и дверных проемов, их габариты вычитаем. Для примера рассчитаем площадь стен, изображенных на схеме выше.

  • Стена с дверью:
  • 2,5 м 5,6 м = 14 кв. м. — общая площадь длинной стены
  • сколько занимает дверной проем: 2,1 м 0,9 м = 1,89 кв.м.
  • стена без учета дверного проема — 14 кв.м — 1,89 кв. м = 12,11 кв. м
  • Стена с окном:
  • квадратура маленьких стен: 2,5 м 3,2 м = 8 кв.м.
  • сколько занимает окно: 1,3 м 1,42 м = 1,846 кв. м, округляем, получаем 1,75 кв.м.
  • стена без оконного проема: 8 кв. м — 1,75 кв.м = 6,25 кв.м.

Найти общую площадь стен не составит труда. Складываем все четыре цифры: 14 кв.м 12,11 кв.м. 8 кв.м 6,25 кв.м. = 40,36 кв. м.

Прямоугольная комната

Если помещение правильной формы, без выступающих частей, вычислить площадь комнаты просто. Измеряете длину и ширину, записываете на бумажке. Цифры пишите в метрах, после запятой ставите сантиметры. Например, длина 4,35 м (430 см), ширина 3,25 м (325 см).

Найденные цифры перемножаем, получаем площадь комнаты в квадратных метрах. Если обратимся к нашему примеру, то получится следующее: 4,35 м 3,25 м = 14,1375 кв. м. В данной величине оставляют обычно две цифры после запятой, значит округляем. Итого, рассчитанная квадратура комнаты 14,14 квадратных метров.

Калькулятор квадратных метров

1 см = 10 мм 1 см² = 100 мм²
1 дм = 10 см 1 дм² = 100 см²
1 м = 10 дм 1 м² = 100 дм²
1 а = 100 м²
1 га = 100 а (ар или сотка)
1 км = 1000 м 1 км² = 100 га = 1000000 м²

В один квадрат со стороной в 1 метр помещается 100 квадратов со стороной в 1 дециметр.

В каждый из 100 квадратов со стороной в 1 дециметр помещается 100 квадратов со стороной в 1 сантиметр.

1м² = 10 дм × 10 дм = 100 см × 100 см = 10000 см²

Послесловие: если информации оказалось недостаточно для решения вопроса, в комментариях можно оставить дополнения или пожелания относительно содержания статьи.

Периодически нам требуется знать площадь и объем комнаты. Эти данные могут понадобиться при проектировании отопления и вентиляции, при закупке стройматериалов и еще во многих других ситуациях. Также периодически требуется знать площадь стен. Все эти данные вычисляются легко, но предварительно придется поработать рулеткой — измерять все требуемые габариты. О том, как посчитать площадь комнаты и стен, объем помещения и пойдет речь дальше.

Передвинь одну спичку и сделай квадрат из треугольника | Невозможные головоломки со спичками

Часто требуется посчитать кубатуру комнаты, ее объем

Площадь комнаты в квадратных метрах

Посчитать несложно, требуется только вспомнить простейшие формулы а также провести измерения. Для этого нужны будут:

разрезать, квадрат, прямоугольник
  • Рулетка. Лучше — с фиксатором, но подойдет и обычная.
  • Бумага и карандаш или ручка.
  • Калькулятор (или считайте в столбик или в уме).

Набор инструментов нехитрый, найдется в каждом хозяйстве. Проще измерения проводить с помощником, но можно справиться и самостоятельно.

Для начала надо измерить длину стен. Делать это желательно вдоль стен, но если все они заставлены тяжелой мебелью, можно проводить измерения и посередине. Только в этом случае следите чтобы лента рулетки лежала вдоль стен, а не наискосок — погрешность измерений будет меньше.

Помещение неправильной формы

Если надо высчитать площадь комнаты неправильной формы, ее разбивают на простые фигуры — квадраты, прямоугольники, треугольники. Потом измеряют все нужные размеры, производят расчеты по известным формулам (есть в таблице чуть ниже).

Перед тем как посчитать площадь комнаты, тоже проводим изменения. Только в этом случае цифр будет не две, а четыре: добавится еще длина и ширина выступа. Габариты обоих кусков считаются отдельно.

Один из примеров — на фото. Так как и то, и другое — прямоугольник, площадь считается по той же формуле: длину умножаем на ширину. Найденную цифру надо отнять или прибавить к размеру помещения — в зависимости от конфигурации.

Покажем на этом примере как посчитать площадь комнаты с выступом (изображена на фото выше):

  • Считаем квадратуру без выступа: 3,6 м 8,5 м = 30,6 кв. м.
  • Считаем габариты выступающей части: 3,25 м 0,8 м = 2,6 кв. м.
  • Складываем две величины: 30,6 кв. м. 2,6 кв. м. = 33,2 кв. м.

Еще бывают помещения со скошенными стенами. В этом случае разбиваем ее так, чтобы получились прямоугольники и треугольник (как на рисунке ниже). Как видите, для данного случая требуется иметь пять размеров. Разбить можно было по-другому, поставив вертикальную, а не горизонтальную черту. Это не важно. Просто требуется набор простых фигур, а способ их выделения произвольный.

Как посчитать площадь комнаты неправильной формы

В этом случае порядок вычислений такой:

  • Считаем большую прямоугольную часть: 6,4 м 1,4 м = 8,96 кв. м. Если округлить, получим 9, 0 кв.м.
  • Высчитываем малый прямоугольник: 2,7 м 1,9 м = 5,13 кв. м. Округляем, получаем 5,1 кв. м.
  • Считаем площадь треугольника. Так как он с прямым углом, то равен половине площади прямоугольника с такими же размерами. (1,3 м 1,9 м) / 2 = 1,235 кв. м. После округления получаем 1,2 кв. м.
  • Теперь все складываем чтобы найти общую площадь комнаты: 9,0 5,1 1,2 = 15,3 кв. м.

Планировка помещений может быть очень разнообразной, но общий принцип вы поняли: делим на простые фигуры, измеряем все требуемые размеры, высчитываем квадратуру каждого фрагмента, потом все складываем.

Формулы расчета площади и периметра простых геометрических фигур

Еще одно важное замечание: площадь комнаты, пола и потолка — это все одинаковые величины. Отличия могут быть если есть какие-то полу-колоны, не доходящие до потолка. Тогда из общей квадратуры вычитается квадратура этих элементов. В результате получаем площадь пола.

Как перевести метры в квадратные метры

— это длина пути, проходимого светом в вакууме за 1/299792458 секунды (где-то 1 широкий шаг достаточно высокого человека).

— это площадь квадрата со стороной в 1 метр. Чтобы узнать площадь комнаты или участка земли в квадратных метрах, нужно сосчитать сколько в них уместится квадратов метр на метр (1 м × 1 м).

Нельзя конвертировать метры в квадратные метры, но можно зная длину и ширину прямоугольника найти его площадь в квадратных метрах.

Предварительно все значения нужно привести к одной требуемой единице измерения.

Например, если нужно вычислить размер стены в квадратных метрах, то её длину в 3 метра и 20 сантиметров нужно заменить на 3,2 метра.

Зная формулы из уроков геометрии, можно рассчитать площадь фигуры любой другой формы, например, треугольной.

Объем комнаты

Для некоторых расчетов требуется объем комнаты. В этом случае перемножаются три величины: ширина, длинна и высота помещения. Измеряется данная величина в кубических метрах (кубометрах), называется еще кубатурой. Для примера используем данные из предыдущего пункта:

  • длинна — 5,6 м;
  • ширина — 3,2 м;
  • высота — 2,5 м.

Если все перемножить, получаем: 5,6 м 3,2 м 2,5 м = 44,8 м 3. Итак, объем помещения 44,8 куба.

Данный онлайн-калькулятор позволяет рассчитать площадь различных геометрических фигур, таких как:

Для удобства расчетов вы можете выбрать единицу измерения (миллиметр, сантиметр, метр, километр, фут, ярд, дюйм, миля). Также полученный результат можно конвертировать в другую единицу измерения путем выбора её из выпадающего списка.

READ  Как в стекле вырезать квадрат

Как разрезать квадрат на три прямоугольника

Докажем, что из свойства 2 следует свойство 3. Пусть выпуклый многоугольник F разрезан на параллелограммы. Нужно доказать, что для любой стороны многоугольника F найдется другая сторона, параллельная и равная ей. От каждой стороны многоугольника F отходит цепочка параллелограммов, т. е. эта сторона как бы перемещается по ним параллельно, причем она может разбиваться на несколько частей (рис. 25.20). Так как у выпуклого многоугольника может быть еще только одна сторона, параллельная данной, то все разветвления цепочки упираются в одну и ту же сторону, причем ее длина не меньше длины стороны, из которой цепочка выходит. Мы можем выпустить цепочку параллелограммов как из первой стороны во вторую, так и из второй в первую, поэтому длины этих сторон равны.

Остается доказать, что из свойства 3 следует свойство 2. Способ разрезания многоугольника с равными и параллельными противоположными сторонами указан на рис. 25.21. После каждой такой операции получаем многоугольник с меньшим числом сторон, по-прежнему обладающий свойством 3, и проделываем с ним то же самое, пока не придем к параллелограмму.

25.23. Воспользуемся результатом предыдущей задачи. Если выпуклый многоугольник M разрезан на выпуклые центрально симметричные многоугольники, то их можно разрезать на параллелограммы. Поэтому M можно разрезать на параллелограммы, т. е. M имеет центр симметрии.

25.24. Докажем индукцией по n, что любой 2n-угольник, стороны которого имеют одну и ту же длину и противоположные стороны параллельны, можно разрезать на ромбы. Для n = 2 это очевидно, а из рис. 25.21 ясно, как делается индукционный шаг.

25.25. Выделим в правильном восьмиугольнике две взаимно перпендикулярные пары противоположных сторон и рассмотрим, как и в задаче 25.1, цепочки параллелограммов, соединяющие противоположные стороны. На пересечениях этих цепочек стоят прямоугольники. Рассмотрев две другие пары противоположных сторон, получим еще хотя бы один прямоугольник. Параллелограммы каждой цепочки можно дополнительно разрезать так, чтобы цепочка распалась на несколько «дорожек», причем в каждой дорожке соседние параллелограммы примыкали бы друг к другу целыми сторонами, а не частями сторон. Объединение прямоугольников нового разбиения совпадает с объединением прямоугольников исходного разбиения, поэтому доказательство достаточно провести для нового разбиения. Каждая дорожка имеет постоянную ширину; значит, длина одной стороны каждого прямоугольника, входящего в дорожку, равна ширине дорожки, а сумма длин всех других сторон равна сумме всех ширин дорожек, соответствующих второй паре сторон. Следовательно, площадь всех прямоугольников, входящих в одну дорожку, равна произведению ширины дорожки на длину стороны многоугольника, т. е. численно равна ширине дорожки. Поэтому площадь всех прямоугольников, соответствующих двум перпендикулярным парам противоположных сторон, равна 1, а площадь вообще всех прямоугольников равна 2.

25.26. Обозначим точки пересечения одной из данных прямых с остальными через A, B и C. Для определенности будем считать, что точка B лежит между A и C. Пусть D. точка пересечения прямых, проходящих через A и C. Любая прямая, проходящая через точку B и не проходящая через точку D, разрезает треугольник ACD на треугольник и четырехугольник. 25.27. а) Пусть n прямых разбивают плоскость на an частей. Проведем еще одну прямую. При этом число частей увеличится на n 1, так как новая прямая имеет n точек пересечения с уже проведенными прямыми. Поэтому an 1 = an n 1. Так как a1 = 2, то an = 2 2 3 ј n = (n 2 n 2)/2. б) Заключив все точки пересечения данных прямых в окружность, легко проверить, что количество неограниченных фигур равно 2n. Поэтому количество ограниченных фигур равно (n 2 n 2)/2 – 2n = (n 2 – 3n 2)/2.

25.29. Назовем прямую граничной для данной фигуры, если она является продолжением отрезка или луча, ограничивающего эту фигуру. Достаточно доказать, что две рассматриваемые фигуры не могут иметь более четырех общих граничных прямых. Если две фигуры имеют четыре общие граничные прямые, то одна из фигур лежит в области 1, а другая лежит в области 2 (рис. 25.24). Пятая граничная прямая фигуры, лежащей в области 1, должна пересекать две соседние стороны четырехугольника 1, но тогда она не может быть граничной прямой для фигуры, лежащей в области 2.

25.30. Рассмотрим все точки пересечения данных прямых. Докажем, что эти точки могут лежать по одну сторону не более чем от двух данных прямых. Предположим, что вес точки пересечения лежат по одну сторону от трех данных прямых. Эти прямые образуют треугольник ABC. Четвертая прямая не может пересекать только стороны этого треугольника, т. е. она пересекает хотя бы одно продолжение стороны. Пусть для определенности она пересекает продолжение стороны AB за точку B в некоторой точке M. Тогда точки A и M лежат по разные стороны от прямой BC. Получено противоречие. Поэтому имеются по крайней мере n – 2 прямые, по обе стороны от которых лежат точки пересечения. Если мы выберем в полуплоскости, заданной прямой l, ближайшую к l точку пересечения, то эта точка будет вершиной треугольника, прилегающего к прямой l. Таким образом, имеется не менее n – 2 прямых, к которым прилегает по крайней мере по два треугольника, и две прямые, к каждой из которых прилегает хотя бы один треугольник. Так как каждый треугольник прилегает ровно к трем прямым, то треугольников не менее (2(n – 2) 2)/3.

25.31. Если P. точка пересечения данных прямых, то из P выходит 2 l (P) отрезков или лучей. Кроме того, каждый из x отрезков имеет две граничные точки, а каждый из 2n лучей имеет одну граничную точку. Поэтому

2x 2n = 2 е l (P)

, т. е.

x = – n е l (P)

. 25.32. Доказательство проведем индукцией по n. Для двух прямых утверждение очевидно. Предположим, что утверждение верно для n – 1 прямых, и рассмотрим систему, состоящую из n прямых. Пусть f. количество частей, на которые данные n прямых разбивают плоскость;

g = 1 n е ( l (P) – 1)

. Выбросим из данной системы одну прямую и для полученной системы прямых определим аналогичным образом числа f ў и g ў. Если на выброшенной прямой лежит k точек пересечения прямых, то f ў = fk – 1 и

g ў = 1 (n – 1) е ( l ў (P) – 1)

. Легко проверить, что

е ( l (P) – 1) = – k е ( l ў (P) – 1)

. По предположению индукции f ў = g ў. Поэтому f = f ў k 1 = g ў k 1 = g. Ясно также, что количество неограниченных частей равно 2n. 25.33. Пусть ak ў. количество красных k-угольников, a ў. количество ограниченных красных областей, количество отрезков, на которые данные прямые разбиты точками их пересечения, равно

е l (P) – n

(см. задачу 25.31). Каждый отрезок является стороной не более чем одного красного многоугольника, поэтому

3a ў Ј е k і 3 kak ў Ј е l (P) – n

, причем одно неравенство достигается тогда и только тогда, когда нет красных k-угольников, где k 3, а другое неравенство достигается тогда и только тогда, когда любой отрезок является стороной красного k-угольника, т. е. любая неограниченная красная область является углом. Количество ограниченных областей равно

1 – n е ( l (P) – 1) = c

(см. задачу 25.32). поэтому количество b ў ограниченных синих областей равно

ca ў і 1 – n е ( l (P) – 1) – ( е l (P) – n)/3 = 1 – (2n/3) е (2 l (P)/3 – 1)

. Цвета 2n неограниченных областей чередуются, поэтому

b = b ў n і 1 (n/3) е (2 l (P)/3 – 1)

и

a = a ў n Ј (2n е l (P))/3

, а значит,

2ba і 2 е ( l (P) – 2)

.

25.39. Ясно, что после n разрезаний получится n 1 кусок. Так как после каждого разрезания общее число вершин полученных фигур увеличивается на 2, 3 или 4, то после n разрезаний общее число вершин не превосходит 4n 4. Если после n разрезаний получилось 100 20-угольников, то кроме 20-угольников есть еще n 1 – 100 кусков, так как общее число кусков равно n 1. Поскольку у каждого куска не менее трех вершин, общее число вершин не меньше 100 20 (n – 99) 3 = 1703 3n. Следовательно, 1703 3n Ј 4n 4, т. е. n і 1699. Остается доказать, что за 1699 разрезаний можно разрезать квадрат требуемым образом. Чтобы разрезать квадрат на 100 прямоугольников, достаточно 99 разрезов, а чтобы отрезать от каждого из этих прямоугольников по 16 треугольников и превратить их в 20-угольники, достаточно 16000 разрезов.

25.40. Введем систему координат с началом в одной из вершин исходного прямоугольника и осями, направленными по его сторонам. Разрежем координатную плоскость прямыми x = n/2 и y = m/2, где m и n. целые числа, и раскрасим полученные части в шахматном порядке. Если стороны прямоугольника параллельны осям координат, а длина одной из его сторон равна 1, то суммы площадей его белых и черных частей равны. В самом деле, при симметрии относительно средней косильной лески прямоугольника белые части переходят в черные и наоборот. Для прямоугольника с целочисленной стороной справедливо аналогичное утверждение, потому что его можно разрезать на прямоугольники со стороной 1. Остается доказать, что если суммы площадей белых и черных частей равны, то одна из сторон прямоугольника целочисленная. Предположим, что обе стороны исходного прямоугольника не целые. Прямые x = m и y = n отрезают от него прямоугольники, одна из сторон каждого из которых равна 1, и прямоугольник, обе стороны которого меньше 1. Легко проверить, что в последнем прямоугольнике суммы площадей белых и черных частей не могут быть равны.

READ  Двигатель Для Мотоблока Нева 1

25.45. Выберем среди всех отрезков, покрывающих левый конец исходного отрезка, тот, у которого правый конец самый правый, и обозначим этот отрезок I1. После того как выбран отрезок Ik, выбираем среди всех отрезков, покрывающих его правый конец, тот, у которого правый конец самый правый. Таким образом выберем несколько отрезков, полностью покрывающих исходный отрезок. Остается доказать, что сумма их длин не превосходит 2. Отрезок Ik 2 не имеет общих точек с Ik, так как иначе вместо Ik 1 мы должны были бы выбрать Ik 2. Поэтому каждая точка исходного отрезка длиной 1 покрыта не более чем двумя отрезками Ik, т. е. сумма длин этих отрезков не превосходит 2.

25.46. Будем последовательно выбрасывать отрезки, покрытые одним или несколькими оставшимися отрезками, до тех пор, пока это возможно. Направим ось координат по данному отрезку и обозначим координаты концов оставшихся отрезков через ak и bk (ak і ak 2. Возможны два случая. 1. bk 1 Ј bk 2, тогда отрезок с номером k 1 покрыт отрезками с номерами k и k 2. Получено противоречие.

bk 1 і bk 2, тогда отрезок с номером k 2 покрыт отрезком с номером k 1. Получено противоречие.

Остается заметить, что сумма длин либо четных, либо нечетных отрезков не меньше 0,5.

25.47. Пусть AB. наибольшая сторона пятиугольника. Рассмотрим полосу, заданную перпендикулярами к стороне AB, проведенными через A и B. Так как углы EAB и ABC тупые, точки E и C лежат вне этой полосы. Поэтому точка D лежит внутри полосы, так как иначе длина одного из отрезков ED и DC была бы больше длины отрезка AB. Обозначим проекцию точки D на отрезок AB через D1 (рис. 25.32). Тогда круги с диаметрами AD и BD полностью покрывают четырехугольники AEDD1 и BCDD1.

25.48. а) Рассмотрим наибольший квадрат K покрытия и выбросим все квадраты, пересекающиеся с ним. Они лежат внутри квадрата, сторона которого в 3 раза больше стороны K, поэтому площадь, занимаемая ими, не больше 81, где s. площадь K. Квадрат K относим к выбранным и в дальнейшем его уже не рассматриваем. Для остальных квадратов проделываем то же самое до тех пор, пока все квадраты будут либо выбраны, либо выброшены. Если сумма площадей выбранных квадратов равна S, то общая площадь выброшенных квадратов не превосходит 8S. Поэтому 1 Ј S 8S, т. е. S і 1/9.

б) Выберем круг наибольшего радиуса, раздуем его в три раза и выбросим все круги, целиком лежащие в этом раздутии. Оставшиеся круги не пересекаются с первым. Для них проделаем то же самое и т. д. Раздутия всех выбранных кругов содержат все данные круги, а площадь раздутия в 9 раз больше площади исходного круга, поэтому 9S і 1, где S. общая площадь всех выбранных кругов. Следовательно, S і 1/9.

Презентация к уроку

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Опыт показывает, что при использовании практических методов обучения удается сформировать у учащихся ряд мыслительных приемов, необходимых для правильного вычленения существенных и несущественных признаков при ознакомлении с геометрическими фигурами. развивается математическая интуиция, логическое и абстрактное мышление, формируется культура математической речи, развиваются математические и конструкторские способности, повышается познавательная активность, формируется познавательный интерес, развивается интеллектуальный и творческий потенциал.В статье приводится ряд практических задач на разрезания геометрических фигур на части с целью составить из этих частей новую фигуру. Ученики работают над заданиями в группах. Затем каждая группа защищает свой проект.

Две фигуры называются равносоставленными, если, определённым образом разрезав одну из них на конечное число частей, можно (располагая эти части иначе) составить из них вторую фигуру. Итак, метод разбиения основан на том, что всякие два равносоставленных многоугольника равновелики. Естественно поставить обратный вопрос: всякие ли два многоугольника, имеющих одинаковую площадь, равносоставлены? Ответ на этот вопрос был дан (почти одновременно) венгерским математиком Фаркашем Бойяи (1832г.) и немецким офицером и любителем математики Гервином (1833г.): два многоугольника, имеющих равные площади, равносоставленны.

Теорема Бойяи-Гервина гласит: любой многоугольник можно так разрезать на части, что из этих частей удастся сложить квадрат.

Разрежьте прямоугольник a х 2a на такие части, чтобы из них можно было составить квадрат.

Прямоугольник ABCD разрежем на три части по линиям MD и MC (М – середина АВ)

Треугольник АMD переместим так, чтобы вершина М совместилась с вершиной С, катет АМ переместится на отрезок DС. Треугольник МВС переместим влево и вниз так, что катет МВ наложится на половину отрезка DС. (Рисунок 1)

Разрезать равносторонний треугольник на части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

Обозначим данный правильный треугольник АВС. Необходимо разрезать треугольник АВС на многоугольники так, чтобы из них можно было сложить квадрат. Тогда эти многоугольники должны иметь по крайней мере по одному прямому углу.

Пусть К – середина СВ, Т – середина АВ, точки М и Е выберем на стороне АС так, что МЕ=АТ=TV=ВК=СК=а, АМ=ЕС=а/2.

Проведем отрезок МК и перпендикулярные к нему отрезки ЕР и ТН. Разрежем треугольник на части вдоль построенных линий. Четырехугольник КРЕС повернем по часовой стрелке относительно вершины К так, что СК совместится с отрезком КВ. Четырехугольник АМНТ повернем по часовой стрелке относительно вершины Т так, что АТ совместится с TV. Треугольник МЕР переместим так, что в результате получится квадрат. (Рисунок 2)

Разрезать квадрат на части так, чтобы из них можно было сложить два квадрата.

Обозначим исходный квадрат ABCD. Отметим середины сторон квадрата – точки M, N, K, H. Проведем отрезки МТ, НЕ, КF и NР – части отрезков МС, НВ, КА и ND соответственно.

Разрезав квадрат ABCD по проведенным линиям, получим квадрат PTEF и четыре четырехугольника MDHT, HCKE, KBNF и NAMP.

PTEF – уже готовый квадрат. Из оставшихся четырехугольников составим второй квадрат. Вершины A, B, C и D совместим в одну точку, отрезки АМ и ВК, MD и CS: GO, BN и СН, DH и АN совместятся. Точки Р, Т, Е и F станут вершинами нового квадрата. (Рисунок 3)

Из плотной бумаги вырезаны равносторонний треугольник и квадрат. Разрезать эти фигуры на многоугольники так, чтобы из них можно было сложить один квадрат, при этом части должны полностью его заполнять и не должны пересекаться.

Треугольник разрежем на части и составим из них квадрат так, как показано в задании 2. Длина стороны треугольника – 2а. Теперь следует разделить на многоугольники квадрат так, чтобы из этих частей и того квадрата, который получился из треугольника, составить новый квадрат. Возьмем квадрат со стороной 2а, обозначим его LRSD. Проведем взаимно перпендикулярные отрезки UG и VF так, что DU=SF=RG=LV. Разрежем квадрат на четырехугольники.

Возьмем квадрат, составленный из частей треугольника. Выложим четырехугольники – части квадрата так, как показано на рисунке 4.

Крест составлен из пяти квадратов: один квадрат в центре, а остальные четыре прилежат к его сторонам. Разрезать его на такие части, чтобы из них можно было составить квадрат.

Соединим вершины квадратов так, как показано на рисунке 5. Отрежем “внешние” треугольники и переместим их на свободные места внутри квадрата АВСК.

Перекроить два произвольных квадрата в один.

На рисунке 6 показано, как нужно разрезать и переместить части квадратов.

На сложенном 2 раза листе бумаги сделай один прямой разрез, чтобы получить:

Получение 1 десятиугольника и 2 треугольников

Распишем по шагам последовательность действий, благодаря которым можно получить 1 десятиугольник и 2 треугольника. Возьмем лист бумаги.

Свернем лист пополам.

Снова свернем лист пополам.

Нанесем леску разреза на получившийся квадрат.

Сделаем один разрез по нанесенной ранее косильной лески.

Развернем части нашего листа и получим 1 десятиугольник и 2 треугольника.

READ  Как разрезать стекло без стеклореза

Получение 4 треугольников и 1 восьмиугольника

Рассмотрим по шагам как получить 4 треугольника и 1 восьмиугольник.

Шаг 1

Шаг 2

Шаг 3

Нанесем леску разреза на получившийся квадрат.

Сделаем один разрез по нанесенной косильной лески разреза.

Развернем листы и получим 1 восьмиугольник и 4 треугольника.

4 треугольника и 1 восьмиугольник

Получение 3-х прямоугольников

Начнем с того, что получим 3 прямоугольника.

Шаг 1

Шаг 2

Затем свернем лист еще раз пополам.

Шаг 3

Сделаем один разрез по нанесенной косильной лески.

Шаг 5

Развернем листы и получим 3 прямоугольника.

Получили 3 прямоугольника

Получение 1 шестиугольника и 2 треугольников

Снова свернем лист пополам.

Нанесем леску разреза на получившийся квадрат.

Сделаем один разрез по нанесенной ранее косильной лески.

Развернем части нашего листа и получим 1 шестиугольник и 2 треугольника.

разрезать, квадрат, прямоугольник

Можно ли разрезать треугольник на такое количество частей, чтобы из них можно было сложить квадрат?

Утвердительный ответ на этот вопрос был дан еще в 1807 году. В более общем виде это звучало так: «Любые два многоугольника общей площади должны иметь общее разрезание». Это теорема Бойля –Гервина, доказанная в 1807. Е сли у нас есть треугольник и квадрат и мы знаем, что их площади одинаковы, разрезав треугольник на несколько многоугольников, мы можем как из мозаики сложить квадрат.

Но вот более сложный вопрос. А можно ли разрезать так, чтобы все части оставались соединенными в неразрывную цепочку?

Шарнирное разрезание или разрезания Дью-дени (по имени автора), выполненное в виде анимации, демонстрирует нам как треугольник преобразуется в квадрат, а затем в шестиугольник и обратно в треугольник (использован анимационный ролик из Wikipedia).

Решение

Если немного порисовать разбиения квадрата на три прямоугольника, чтобы понять, как они вообще могут в нем располагаться, то довольно быстро можно прийти к тому, что есть всего два разных случая (с точностью до поворотов квадрата). Действительно, к верхней стороне квадрата могут примыкать три, два или один прямоугольник. Если их три, то получается конфигурация, показанная на рис. 1 слева. Если два, то — конфигурация, показанная на этом рисунке справа. Если же к верхней стороне примыкает только один прямоугольник, то два других располагаются под ним, а их общая сторона либо горизонтальна (и тогда это то же самое, что первая конфигурация), либо вертикальна (тогда это то же самое, что вторая конфигурация).

Про первую конфигурацию сразу ясно, что все три прямоугольника равны друг другу: по условию они должны быть подобны, но из расположения получается, что равны их большие стороны.

Разберемся со второй конфигурацией. Будем считать ориентацией прямоугольника направление его более длинной стороны (ясно, что у нас тут фигурируют только вытянутые прямоугольники, у которых одна сторона длиннее другой). Как могут быть ориентированы два верхних прямоугольника?

Они не могут быть оба вертикальными (как на рис. 1), потому что тогда они будут равны (большие стороны совпадают), и поэтому отношение большей стороны к меньшей у них меньше 2 (так как меньшая сторона равна половине стороны квадрата, а большая не больше целой стороны квадрата). А у нижнего прямоугольника это отношение будет больше 2. Значит, он не может быть подобным верхним.

Они могут быть оба горизонтальными (рис. 2, слева). Тогда два верхних прямоугольника опять равны и несложно посчитать, что для того, чтобы все три прямоугольника были подобными, нужно, чтобы стороны каждого относились друг к другу как 3:2.

Наконец, может ли быть так, что один из верхних прямоугольников горизонтальный, а второй — вертикальный? Проверим. Эта ситуация изображена на рисунке 2 справа. Введем обозначения, как этом рисунке. Учитывая подобие прямоугольников, находим:

Поскольку стороны квадрата равны, получаем равенства:

Правое равенство позволяет выразить y:

после чего из левого равенства получается уравнение

разрезать, квадрат, прямоугольник

У этого кубического уравнения один действительный корень \(\rho\approx1,3247\ldots\), так что такой случай реализуется. Итого, есть три способа разрезать квадрат на подобные прямоугольники.

Задача

Сколькими способами можно разрезать квадрат на три прямоугольника, каждый из которых подобен двум другим? Напомним, что два прямоугольника подобны, если стороны первого относятся друг к другу так же, как стороны второго. Способы, отличающиеся лишь поворотом или отражением квадрата, считаются за один.

Подсказка

Три прямоугольника — это немного, поэтому можно перебрать случаи расположения их в квадрате и проверить, могут ли в каждом из случаев прямоугольники быть подобными.

Послесловие

Поскольку для кубических уравнений известны формулы, дающие точные решения, то можно быть уверенным, что корень есть и он один. В радикалах это число записывается так:

.6. Периметр и площадь квадрата (дополнение)

Также его можно записать и в виде бесконечной последовательности вложенных друг в друга радикалов:

Пэчворк для начинающих. 3 блока Быстрый квадрат наизнанку.

Интересно, что у этого числа есть свое «имя»: голландский архитектор (и по совместительству монах) Ганс ван дер Лаан (Hans van der Laan) назвал его пластичным числом (plastic number). Ван дер Лаан создал не очень много зданий и в основном это были церкви, но его теоретические работы имели определенный вес. В частности, он разработал теорию гармоничных соотношений между элементами здания, в которой пластическое число играло центральную роль.

Такое название по его задумке отражало то, что этому числу можно придать геометрические «формы». С одним примером такой формы мы познакомились в задаче. Другой пример возникает так. Допустим, что имеется неограниченный запас коробок (прямоугольных параллелепипедов) разных размеров с целыми длинами сторон. Начнем с коробки 1×1×1, приставим к ней сбоку еще одну такую коробку — получится коробка 2×1×1. Приставим к ней спереди такую же, чтобы получилась коробка 2×2×1. Приставим к ней снизу коробку 2×2×2, чтобы получилась коробка 2×2×3. Далее нужно продолжать так: приставлять новые коробки поочередно сбоку, спереди, снизу, а размер их выбирать так, чтобы два измерения (это размеры грани, к которой приставляется очередная коробка) совпадали с измерениями текущей коробки, а третье измерение было таким, каким получилось изменившееся измерение за два «хода» до этого. Первые шаги показаны на рисунке 4. Например, пятым «ходом» справа приставляется коробка 2×2×3 и ее «длина» (измерение вдоль стрелочек на этом рисунке) равна 2, потому что за два хода до этого у коробки получилась «ширина», равная 2 (это правая коробка в верхнем ряду).

Если продолжать этот процесс, то размеры коробок будут, естественно, увеличиваться. Но вот отношения их сторон («соседних» по длине, как показано на рис. 4) будут стремиться к конечному пределу, которым и является пластическое число.

Идея обоснования следующая. Заметим, что размеры коробок — это тройки стоящих рядом чисел из последовательности 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16. Если обозначить n-й член этой последовательности Pn, то при n 3 выполняется равенство Pn = Pn−2 Pn−3. Точнее, это линейное рекуррентное соотношение и задает эту последовательность, которая называется последовательностью Падована (Padovan sequence). Оказывается, можно выразить общий член рекуррентной последовательности через корни ее характеристического многочлена. По указанным ссылкам можно подробнее ознакомиться с этой темой, сейчас важно лишь, что для данной последовательности характеристический многочлен такой: \(x^3-x-1\), а его действительный корень, как мы знаем, — пластическое число ρ. Поэтому, кстати, последовательность степеней этого числа 1, ρ, ρ 2. ρ 3 удовлетворяет тому же рекуррентному соотношению (из этого наблюдения на самом деле и проистекает метод выражения члена последовательности через корни многочлена). У этого многочлена есть и два комплексных корня. Если их обозначить через q и s, то при некоторых константах a, b, c равенство Pn = aρ n bq n cs n будет верно при всех натуральных n. Но поскольку комплексные корни q и s по модулю меньше 1, их степени стремятся к нулю с ростом n.

В этом смысле пластическое число для последовательности Падована — это то же самое, что другое (и куда более известное) «архитектурное» число — золотое сечение — для последовательности Фибоначчи (а серебряное сечение — для чисел Пелля).

Еще о свойствах пластического числа можно почитать в статье V. W. De Spinadel, A. R. Buitrago Towards van der Laan’s Plastic Number in the Plane.