Содержание
Вспомогательные раскраски в шахматном порядке
В каждой клетке доски 5 х 5 клеток сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки. Обязательно ли при этом остается пустая клетка?
Решение: Так как общее число клеток шахматной доски 5 х 5 клеток нечетно, то черных и белых клеток не может быть поровну. Пусть для определенности черных клеток будет больше. Тогда жуков, сидящих на белых клетках, меньше, чем черных клеток. Поэтому хотя бы одна из черных клеток остается пустой, так как на черные клетки переползают только жуки, сидящие на белых клетках.
Докажите, что доску размером 10 х 10 клеток нельзя разрезать на фигурки в форме буквы Т, состоящие из четырех клеток.
Решение: Предположим, что доска 10 х 10 клеток разбита на такие фигурки. Каждая фигурка содержит либо 1, либо 3 черные клетки, т.е. всегда нечетное число. Самих фигурок должно быть 100/4=25 штук. Поэтому они содержат нечетное число черных клеток, а всего черных клеток 100/2=50 штук. Получено противоречие.
Транскрипт
1 М. А. Екимова, Г. П. Кукин МЦНМО Москва, 2002
2 УДК ББК Е45 Е45 Екимова М. А., Кукин Г. П. Задачи на разрезание. М.: МЦНМО, с.: ил. Серия: «Секреты преподавания математики». Эта книга является первой книгой серии «Секреты преподавания математики», призванной изложить и обобщить накопленный опыт в области математического образования. Данный сборник представляет собой одну из частей курса «Развивающая логика в 5 7 классах». Ко всем задачам, приведенным в книге, даны решения или указания. Книга рекомендуется для внеклассной работы по математике. ББК ISBN c Кукин Г. П., Екимова М. А., c МЦНМО, 2002.
3 Введение В настоящее время традиционный взгляд на состав предметов, изучаемых школьниками, пересматривается и уточняется. В школьную программу вводятся различные новые предметы. Одним из таких предметов является логика. Изучение логики способствует пониманию красоты и изящества рассуждений, умению рассуждать, творческому развитию личности, эстетическому воспитанию человека. Каждый культурный человек должен быть знаком с логическими задачами, головоломками, играми, известными уже несколько столетий или даже тысячелетий во многих странах мира. Развитие сообразительности, смекалки и самостоятельности мышления необходимо любому человеку, если он желает преуспевать и достигнуть гармонии жизни. Наш опыт показывает, что систематическое изучение формальной логики или фрагментов математической логики следует отложить на старшие классы средней школы. Вместе с тем, развивать логическое мышление необходимо как можно раньше. Фактически, при изучении учебных предметов в школе рассуждения и доказательства появляются лишь в 7 классе (когда начинается систематический курс геометрии). Для многих учеников резкий переход (не было рассуждений стало много рассуждений) непосильно тяжел. В курсе развивающей логики для 5 7 классов вполне можно научить школьников рассуждать, доказывать, находить закономерности. Например, при решении математических ребусов надо не только угадать (подобрать) несколько ответов, но и доказать, что получен полный список возможных ответов. Это вполне посильно пятикласснику. Но в процессе преподавания логики в 5 7 классах средних школ учителя сталкиваются с определенными трудностями: отсутствие учебников, дидактических материалов, пособий, наглядных материалов. Все это приходится составлять, писать и рисовать самому учителю. Одна из целей этого сборника облегчить учителю подготовку и проведение занятий. Дадим некоторые рекомендации по проведению уроков перед работой со сборником.
4 4 Введение Начинать обучать школьников логике желательно с пятого класса, а может быть, и раньше. Преподавание логики должно вестись непринужденно, почти в импровизационном стиле. Эта видимая легкость на самом деле требует от учителя большой и серьезной подготовки. Неприемлемо, например, вычитывать интересную и занимательную задачу из толстой рукописной тетради, как иногда делают учителя. Рекомендуем проводить занятия в нестандартной форме. Необходимо использовать на уроках как можно больше наглядного материала: различных карточек, картинок, наборов фигур, иллюстраций к решению задач, схем. Не стоит заниматься с младшими школьниками одной темой в течение длительного времени. При разборе темы нужно стараться выделять основные логические вехи и добиваться понимания (а не зазубривания) этих моментов. Необходимо постоянно возвращаться к пройденному материалу. Это можно делать на самостоятельных работах, командных соревнованиях (во время уроков), зачетах в конце четверти, устных и письменных олимпиадах, матбоях (во внеурочное время). Необходимо также использовать на занятиях развлекательные и шуточные задания, иногда полезно сменить направление деятельности. Данный сборник представляет собой одну из частей курса «Развивающая логика в 5 7 классах» «Задачи на разрезание». Эта часть апробировалась на уроках логики в 5 7 классах школы-лицея 74 г. Омска. Задачами на разрезание увлекались многие ученые с древнейших времен. Решения многих простых задач на разрезание были найдены еще древними греками, китайцами, но первый систематический трактат на эту тему принадлежит перу Абул-Вефа, знаменитого персидского астронома Х века, жившего в Багдаде. Геометры всерьез занялись решением задач на разрезание фигур на наименьшее число частей и последующее составление из них той или иной новой фигуры лишь в начале XX века. Одним из основоположников этого увлекательного раздела геометрии был знаменитый составитель головоломок Генри
5 Введение 5 Э. Дьюдени. Особенно большое число существовавших ранее рекордов по разрезанию фигур побил эксперт австралийского патентного бюро Гарри Линдгрен. Он является ведущим специалистом в области разрезания фигур. В наши дни любители головоломок увлекаются решением задач на разрезание прежде всего потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берется за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению. Поскольку здесь не требуется глубокое знание геометрии, то любители иногда могут даже превзойти профессионалов-математиков. Вместе с тем, задачи на разрезание не являются несерьезными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьезных математических задач. Из задач на разрезание родилась теорема Бойаи Гервина о том, что любые два равновеликих многоугольника равносоставлены (обратное очевидно), а затем и третья проблема Гильберта: верно ли аналогичное утверждение для многогранников? Задачи на разрезание помогают как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале. При решении таких задач возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе. Сборник «Задачи на разрезание» разбит на два раздела. При решении задач из первого раздела ученикам не понадобится знание основ планиметрии, а будет нужна именно смекалка, геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем. Второй раздел это факультативные задачи. Сюда вошли задачи, для решения которых понадобится знание основных геометрических сведений о фигурах, их свойствах и признаках, знание некоторых теорем. Каждый раздел разбит на параграфы, в которые мы постарались объединить задачи на одну тему, а они, в свою очередь, разбиты на уроки, содержащие каждый однородные задачи в порядке возрастания их трудности. В первый раздел входит восемь параграфов. 1. Задачи на клетчатой бумаге. В этом параграфе собраны задачи, в которых разрезание фигур (в основном это квадраты и прямоугольники) идет по сторонам клеток. Параграф содержит 4 урока, рекомендуем их для изучения учащимися 5-х классов.
6 6 Введение 2. Пентамино. В этом параграфе собраны задачи, связанные с фигурами пентамино, поэтому для проведения этих уроков желательно раздать детям наборы этих фигур. Здесь два урока, рекомендуем их для изучения учащимися 5 6-х классов. 3. Трудные задачи на разрезание. Здесь собраны задачи на разрезание фигур более сложной формы, например, с границами, являющимися дугами, и более сложные задачи на разрезание. В этом параграфе два урока, их мы рекомендуем проводить в 7-х классах. 4. Разбиение плоскости. Здесь собраны задачи, в которых нужно находить сплошные разбиения прямоугольников на плитки прямоугольной формы, задачи на составление паркетов, задачи о наиболее плотной укладке фигур в прямоугольнике или квадрате. Рекомендуем этот параграф изучать в 6 7-х классах. 5. Танграм. Здесь собраны задачи, связанные с древней китайской головоломкой «Танграм». Для проведения этого урока желательно иметь эту головоломку, хотя бы сделанную из картона. Этот параграф рекомендуем для изучения в 5-х классах. 6. Задачи на разрезание в пространстве. Здесь учащихся знакомят с развертками куба, треугольной пирамиды, проводятся параллели и показываются различия между фигурами на плоскости и объемными телами, а значит различия в решении задач. Параграф содержит один урок, который рекомендуем для изучения учащимися 6-х классов. 7. Задачи на раскраску. Здесь показано, как раскраска фигуры помогает решать задачу. Доказать, что решение задачи на разрезание какой-нибудь фигуры на части возможно, нетрудно, достаточно предоставить какой-нибудь способ разрезания. А вот доказать, что разрезание невозможно, труднее. Сделать это нам помогает раскраска фигуры. В параграфе три урока. Их рекомендуем для изучения учащимися 7-х классов. 8. Задачи с раскраской в условии. Здесь собраны задачи, в которых требуется раскрасить фигуру определенным образом, ответить на вопрос: сколько цветов понадобится для такой раскраски (наименьшее или наибольшее количество) и т. д. В параграфе семь уроков. Их мы рекомендуем для изучения учащимися 7-х классов. Во второй раздел входят задачи, которые можно решать на дополнительных занятиях. Он содержит три параграфа.
7 Введение 7 9. Превращение фигур. В нем собраны задачи, в которых одна фигура разрезается на части, из которых составляется другая фигура. В этом параграфе три урока, на первом рассматривается «превращение» различных фигур (здесь собраны достаточно легкие задачи), а на втором уроке рассматривается геометрия превращения квадрата. 10. Разные задачи на разрезание. Сюда входят различные задачи на разрезание, которые решаются различными методами. В этом параграфе три урока. 11. Площадь фигур. В этом параграфе два урока. На первом уроке рассматриваются задачи, при решении которых нужно разрезать фигуры на части, а потом доказывать, что фигуры равносоставлены, на втором уроке задачи, при решении которых нужно использовать свойства площадей фигур.
8 Раздел 1 1. Задачи на клетчатой бумаге Урок 1.1 Тема: Задачи на разрезание на клетчатой бумаге. Цель: Развивать комбинаторные навыки (рассмотреть различные способы построения косильной лески разреза фигур, правила, позволяющие при построении этой косильной лески не терять решения), развивать представления о симметрии. Задачи решаем на уроке, задача 1.5 на дом Квадрат содержит 16 клеток. Разделите квадрат на две равные части так, чтобы леска разреза шла по сторонам клеток. (Способы разрезания квадрата на две части будем считать различными, если части квадрата, полученные при одном способе разрезания, не равны частям, полученным при другом способе.) Сколько всего решений имеет задача? Указание. Найти несколько решений этой задачи не так уж сложно. На рис. 1 некоторые из них показаны, причем решения б) и в) одинаковы, так как полученные в них фигуры можно совместить наложением (если повернуть квадрат в) на 90 градусов). Рис. 1 Но найти все решения и ни одно решение не потерять уже труднее. Заметим, что ломаная, делящая квадрат на две равные части, симметрична относительно центра квадрата, Это наблюдение позволяет шаг
9 Урок за шагом рисовать ломаную с двух концов. Например, если начало ломаной в точке A, то конец ее будет в точке B Убедитесь, что для данной задачи начало и конец ломаной можно нарисовать двумя способами, показанными на рис. 2. При построении ломаной, чтобы не потерять какое-либо решение, можно придерживаться такого правила. Если следующее звено ломаной можно нарисовать двумя способами, то сначала нужно заготовить второй такой же рисунок и выполнить этот шаг на одном рисунке первым, а на другом вторым способом (на рис. 3 показаны два продолжения рис. 2 (а)). Аналогично нужно поступать, когда способов не два, а три (на рис. 4 показаны три продолжения рис. 2 (б)). Указанный порядок действий помогает найти все решения. Рис. 2 Рис. 3 Рис Прямоугольник 3 4 содержит 12 клеток. Найдите пять способов разрезания прямоугольника на две равные части так, чтобы леска разреза шла по сторонам клеток (способы разрезания считаются различными, если части, полученные при одном способе разрезания, не равны частям, полученным при другом способе) Прямоугольник 3 5 содержит 15 клеточек и центральная клетка удалена. Найдите пять способов разрезания оставшейся фигу-
10 10 1. Задачи на клетчатой бумаге ры на две равные части так, чтобы леска разреза шла по сторонам клеток Квадрат 6 6 разграфлен на 36 одинаковых квадратов. Найдите пять способов разрезания квадрата на две равные части так, чтобы леска разреза шла по сторонам квадратов Задача 1.4 имеет более 200 решений. Найдите хотя бы 15 из них. Урок 1.2 Тема: Задачи на разрезание на клетчатой бумаге. Цель: Продолжать развивать представления о симметрии, подготовка к теме «Пентамино» (рассмотрение различных фигурок, которые можно построить из пяти клеточек). Задачи Можно ли квадрат 5 5 клеток разрезать на две равные части так, чтобы леска разреза шла по сторонам клеток? Ответ обоснуйте Разделите квадрат 4 4 на четыре равные части так, чтобы леска разреза шла по сторонам клеток. Сколько различных способов разрезания вы найдете? 1.8. Разделите фигуру на три равные части так, чтобы леска разреза шла по сторонам квадратов. Рис. 5 Рис. 6 Рис Разделите фигуру на четыре равные части так, чтобы леска разреза шла по сторонам квадратов Разделите фигуру на четыре равные части так, чтобы косильной лески разрезов шли по сторонам квадратов. Найдите как можно больше решений.
11 Урок Разделите квадрат 5 5 клеток с вырезанной центральной клеткой на четыре равные части. Урок 1.3 Тема: Задачи на разрезание на клетчатой бумаге. Цель: Продолжать развивать представления о симметрии (осевой, центральной). Задачи Разрежьте фигуры, изображенные на рис. 8, на две равные части по линиям сетки, причем в каждой из частей должен быть кружок. Рис. 8 Рис Фигуры, изображенные на рис. 9, надо разрезать по линиям сетки на четыре равные части так, чтобы в каждой части был кружок. Как это сделать? Разрежьте фигуру, изображенную на рис. 10, по линиям сетки на четыре равные части и сложите из них квадрат так, чтобы кружочки и звездочки расположились симметрично относительно всех осей симметрии квадрата. Рис. 10
12 12 1. Задачи на клетчатой бумаге Разрежьте данный квадрат по сторонам клеток так, чтобы все части были одинакового размера и формы и чтобы каждая содержала по одному кружку и звездочке Разрежьте квадрат 6 6 из клетчатой бумаги, изображенный на рис. 12, на четыре одинаковые части так, чтобы каждая из них содержала три закрашенные клетки. Урок 1.4 Рис. 11 Рис. 12 Тема: Задачи на разрезание на клетчатой бумаге. Цель: Научиться разрезать прямоугольник на две равные части, из которых можно сложить квадрат, другой прямоугольник. Научиться определять, из каких прямоугольников, разрезав их, можно составить квадрат. Задачи Дополнительно задачи 1.23, 1.24 (эти задачи можно рассмотреть в начале урока для разминки) Прямоугольник 4 9 клеток разрежьте по сторонам клеток на две равные части так, чтобы из них затем можно было сложить квадрат Можно ли прямоугольник 4 8 клеток разрезать на две части по сторонам клеток так, чтобы из них можно было составить квадрат? Из прямоугольника 10 7 клеток вырезали прямоугольник 1 6 клеток, как показано на рис. 13. Разрежьте полученную фигуру на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат Из прямоугольника 8 9 клеток вырезали закрашенные фигуры, как показано на рис. 14. Разрежьте полученную фигуру на две равные части так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник 6 10.
13 Урок Рис. 13 Рис На клетчатой бумаге нарисован квадрат размером 5 5 клеток. Покажите, как разрезать его по сторонам клеток на 7 различных прямоугольников Разрежьте квадрат на 5 прямоугольников по сторонам клеток так, чтобы все десять чисел, выражающих длины сторон прямоугольников, были различными целыми числами Разделите фигуры, изображенные на рис. 15, на две равные части. (Разрезать можно не только по линиям клеток, но и по их диагоналям.) Рис. 15
14 14 2. Пентамино Разрежьте фигуры, изображенные на рис. 16, на четыре равные части. 2. Пентамино Рис. 16 Урок 2.1 Тема: Пентамино. Цель: Развитие комбинаторных навыков учащихся. Задачи Фигуры домино, тримино, тетрамино (игру с такими фигурками называют тетрис), пентамино составляют из двух, трех, четырех, пяти квадратов так, чтобы любой квадрат имел общую сторону хотя бы с одним квадратом. Из двух одинаковых квадратов можно составить только одну фигуру домино (см. рис. 17). Фигуры тримино можно получить из единственной фигуры домино, приставляя к ней различными способами еще один квадрат. Получится две фигуры тримино Рис. 17 Рис Составьте всевозможные фигуры тетрамино (от греч. слова «тетра» четыре). Сколько их получилось? (Фигуры, полученные поворотом или симметричным отображением из каких-либо других, не считаются новыми).
15 Урок Составьте все возможные фигуры пентамино (от греч. «пента» пять). Сколько их получилось? 2.3. Составьте фигуры, изображенные на рис. 19, из фигурок пентамино. Сколько решений имеет задача для каждой фигуры? Рис Сложите прямоугольник 3 5 из фигурок пентамино. Сколько различных решений у вас получится? 2.5. Составьте фигуры, изображенные на рис. 20, из фигурок пентамино. Рис. 20
16 16 2. Пентамино Урок 2.2 Тема: Пентамино. Цель: Развитие представлений о симметрии. Задачи В задаче 2.2 мы составляли все возможные фигуры пентамино. Посмотрите их на рис. 21. Рис. 21 Фигура 1 обладает следующим свойством. Если ее вырезать из бумаги и перегнуть по прямой a. то одна часть фигуры совпадет с другой. Говорят, что фигура симметрична относительно прямой a оси симметрии. У фигуры 12 тоже есть ось симметрии, даже две это прямые b и c, а у фигуры 2 осей симметрии нет. Рис Сколько осей симметрии имеет каждая фигура пентамино? 2.7. Из всех 12 фигур пентамино сложите прямоугольник Несимметричные куски разрешается переворачивать Сложите из двенадцати фигур пентамино прямоугольник 6 10, причем так, чтобы каждый элемент касался какой-нибудь стороны этого прямоугольника.
17 Урок Разрежьте прямоугольник, изображенный на рис. 23 (а), по внутренним линиям на две такие части, из которых можно сложить фигуру с тремя квадратными отверстиями размером в одну клетку (рис. 23 (б)). Рис Из фигурок пентамино сложите квадрат 8 8 с вырезанным посредине квадратом 2 2. Найдите несколько решений Двенадцать пентамино уложены в прямоугольник Восстановите границы фигур. если каждая звездочка попадает ровно в одно пентамино. Рис. 24 Рис Двенадцать фигур пентамино уложены в коробку 12 10, как показано на рис. 25. Попробуйте разместить еще один комплект пентамино на оставшемся свободном поле.
18 18 3. Трудные задачи на разрезание 3. Трудные задачи на разрезание Урок 3.1 Тема: Задачи на разрезание фигур более сложной формы с границами, являющимися дугами. Цель: Научиться разрезать фигуры более сложной формы с границами, являющимися дугами, и составлять из полученных частей квадрат. Задачи На рис. 26 представлены 4 фигуры. Одним разрезом поделите каждую из них на две части и сделайте из них квадрат. Бумага в клеточку облегчит вам решение задачи. Рис Разрезав квадрат 6 6 на части, сложите из них фигуры, изображенные на рис. 27. Рис. 27
19 Урок На рис. 28 изображена часть крепостной стены. Один из камней имеет столь причудливую форму, что если вытащить его из стены и положить иначе, то стена станет ровной. Изобразите этот камень На что пойдет больше краски: на окрашивание квадрата или этого необычного кольца ? Рис. 28 Рис Разрежьте вазу, изображенную на рис. 30, на три части, из которых можно сложить ромб. Рис. 30 Рис. 31 Рис. 32 Урок 3.2 Тема: Более сложные задачи на разрезание. Цель: Попрактиковаться в решении более сложных задач на разрезание. Задачи решаем на уроке, задача 3.12 на дом Разрежьте фигуру двумя прямолинейными разрезами на такие части, из которых можно сложить квадрат Разрежьте изображенную на рис. 32 фигуру на четыре равные части, из которых можно было бы сложить квадрат Разрежьте букву Е, изображенную на рис. 33, на пять частей и сложите из них квадрат. Части переворачивать обратной стороной не
20 20 4. Разбиение плоскости разрешается. Нельзя ли обойтись четырьмя частями, если разрешить переворачивать части обратной стороной? 3.9. Крест, составленный из пяти квадратов, требуется разрезать на такие части, из которых можно было бы составить один равновеликий кресту (то есть равный по площади) квадрат Даны две шахматные доски: обыкновенная, в 64 клетки, и другая в 36 клеток. Требуется каждую из них разрезать на две части так, чтобы из всех полученных четырех частей составить новую шахматную доску клеток У краснодеревщика имеется кусок шахматной доски 7 7 клеток из драгоценного красного дерева. Он хочет, не теряя материала и проводя Рис. 33 разрезы только по краям клеток, распилить доску на 6 частей так, чтобы из них сделать три новых квадрата, все разных размеров. Как это сделать? Можно ли решить задачу 3.11, если количество частей должно равняться 5, а общая длина разрезов 17? 4. Разбиение плоскости Урок 4.1 Тема: Сплошные разбиения прямоугольников. Цель: Научиться строить сплошные разбиения прямоугольников плитками прямоугольной формы. Ответить на вопрос, при каких условиях прямоугольник допускает такое разбиение плоскости. Задачи (а) решаем на уроке. Задачи 4.5 (б), 4.6, 4.7 можно оставить на дом. Пусть у нас имеется неограниченный запас прямоугольных плиток размером 2 1, и мы хотим выложить ими пол прямоугольной формы, причем никакие две плитки не должны перекрываться Выложите плитками 2 1 пол в комнате размером 5 6. Ясно, что если пол в прямоугольной комнате p q выложен плитками 2 1, то p q четно (так как площадь делится на 2). И обратно: если p q четно, то пол можно выложить плитками 2 1.
21 Урок Действительно, в этом случае одно из чисел p или q должно быть четно. Если, например, p = 2r, то пол можно выложить так, как показано на рис. 34. Но в таких паркетах есть косильной лески разрыва, которые пересекают всю «комнату» от стены до стены, но не пересекают плитки. А на практике используются паркеты без таких линий сплошные паркеты. Рис Выложите плитками 2 1 сплошной паркет комнаты Попытайтесь найти сплошное разбиение на плитки 2 1 а) прямоугольника 4 6; б) квадрата Выложите плитками 2 1 сплошной паркет а) комнаты 5 8; б) комнаты 6 8. Естественно возникает вопрос, при каких p и q прямоугольник p q допускает сплошное разбиение на плитки 2 1? Мы уже знаем необходимые условия: 1) p q делится на 2, 2) (p, q) (6, 6) и (p, q) (4, 6). Также можно проверить еще одно условие: 3) p 5, q 5. Оказывается, эти три условия оказываются и достаточными. Плитки других размеров Плитками 3 2 выложите без разрывов а) прямоугольник 11 18; б) прямоугольник Выложите без разрывов, если это возможно, квадрат плитками Можно ли, взяв квадрат клетчатой бумаги размерами 5 5 клеток, вырезать из него 1 клетку так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на пластинки 1 3 клетки? Урок 4.2 Тема: Паркетажи.
22 22 4. Разбиение плоскости Цель: Научиться покрывать плоскость различными фигурами (причем паркетажи могут быть с линиями разрыва или сплошными), или доказывать, что это невозможно. Задачи Один из наиболее важных вопросов теории разбиения плоскости: «Какой формы должна быть плитка, чтобы ее копиями можно было покрыть плоскость без пробелов и двойных покрытий?» На ум сразу же приходит довольно много очевидных форм. Можно доказать, что существуют только три правильных многоугольника, которыми можно покрыть плоскость. Это равносторонний треугольник, квадрат и шестиугольник (см. рис. 35). Существует бесконечное множество неправильных многоугольников, которыми можно покрыть плоскость. Рис Разделите произвольный тупоугольный треугольник на четыре равных и подобных ему треугольника. В задаче 4.8 мы разбили треугольник на четыре равных и подобных ему треугольника. Каждый из четырех получившихся треугольников можно в свою очередь разбить на четыре равных и подобных ему треугольника и т. д. Если двигаться в обратном направлении, то есть складывать четыре равных тупоугольных треугольника так, чтобы получился один подобный им треугольник, но в четыре раза большей площади, и т. д., то такими треугольниками можно замостить плоскость. Плоскость можно покрыть и другими фигурами, например, трапециями, параллелограммами Покройте плоскость одинаковыми фигурами, изображенными на рис. 36.
23 Урок Замостите плоскость одинаковыми «скобками», изображенными на рис. 37. Рис. 36 Рис Имеются четыре квадратика со стороной 1, восемь со стороной 2, двенадцать со стороной 3. Можно ли из них сложить один большой квадрат? Можно ли сложить квадрат какоголибо размера из деревянных плиток указанного на рис. 38 вида, используя плитки обоих видов? Урок 4.3 Тема: Задачи о наиболее плотной укладке. Рис. 38 Цель: Сформировать понятие об оптимальном решении. Задачи Какое наибольшее число полосок размерами 1 5 клеток можно выкроить из квадрата клетчатой бумаги 8 8 клеток? У мастера есть лист жести размером кв. дм. Мастер хочет вырезать из него как можно больше прямоугольных заготовок размером 3 5 кв. дм. Помогите ему Можно ли прямоугольник клетки разрезать без остатка на прямоугольники размером 5 7? Если можно, то как? Если нет, то почему? На листе клетчатой бумаги размерами клеток наметьте разрезы, с помощью которых можно получить как можно больше целых фигур, изображенных на рис. 39. Фигуры, изображенные на рис. 39 (б, г), можно переворачивать.
24 24 5. Танграм Рис Танграм Урок 5.1 Тема: Танграм. Цель: Познакомить учащихся с китайской головоломкой «Танграм». Попрактиковаться в геометрическом исследовании, конструировании. Развивать комбинаторные навыки. Задачи Говоря о задачах на разрезание, нельзя не упомянуть о древней китайской головоломке «Танграм», возникшей в Китае 4 тыс. лет назад. В Китае ее называют «чи тао ту», то есть умственная головоломка из семи частей. Методические рекомендации. Для проведения этого урока желательно иметь раздаточный материал: головоломку (которую могут изготовить сами школьники), рисунки фигур, которые нужно будет сложить. Рис Изготовьте головоломку сами: переведите на плотную бумагу квадрат, разделенный на семь частей. и разрежьте его Используя все семь частей головоломки, составьте фигурки, изображенные на рис. 41.
25 Урок Рис. 41 Рис. 42 Методические рекомендации. Детям можно раздать рисунки фигур а), б) в натуральную величину. И поэтому школьник может решать задачу, накладывая части головоломок на рисунок фигуры и тем самым подбирая нужные части, что упрощает задачу. А рисунки фигур
26 26 6. Задачи на разрезание в пространстве в), г) можно дать в меньшем масштабе; следовательно, эти задачи решать будет труднее. На рис. 42 даны еще фигурки для самостоятельного составления Попробуйте придумать свою фигурку, используя все семь частей танграма В танграме среди его семи частей уже есть треугольники разных размеров. Но из его частей можно еще складывать различные треугольники. Сложите треугольник, используя четыре части танграма: а) один большой треугольник, два маленьких треугольника и квадрат; б) один большой треугольник, два маленьких треугольника и параллелограмм; в) один большой треугольник, один средний треугольник и два маленьких треугольника Можно ли составить треугольник, используя только две части танграма? Три части? Пять частей? Шесть частей? Все семь частей танграма? 5.6. Очевидно, что из всех семи частей танграма составляется квадрат. Можно или нельзя составить квадрат из двух частей? Из трех? Из четырех? 5.7. Из каких различных частей танграма можно составить прямоугольник? Какие еще выпуклые многоугольники можно составить? 6. Задачи на разрезание в пространстве Урок 6.1 Тема: Задачи на разрезание в пространстве. Цель: Развивать пространственное воображение. Научиться строить развертки треугольной пирамиды, куба, определять, какие развертки неверные. Попрактиковаться в решении задач на разрезание тел в пространстве (решение таких задач отличается от решения задач на разрезание фигур на плоскости). Задачи У Буратино была бумага, с одной стороны оклеенная полиэтиленом. Он сделал заготовку, изображенную на рис. 43, чтобы из нее клеить пакеты для молока (треугольные пирамиды). А лиса Алиса может сделать другую заготовку. Какую?
27 Урок Рис Кот Базилио тоже достал такой бумаги, но он хочет клеить кубы (пакеты для кефира). Он сделал заготовки, изображенные на рис. 44. А лиса Алиса говорит, что некоторые можно сразу выбрасывать, потому что они не годятся. Права ли она? Рис Пирамида Хеопса имеет в основании квадрат, а ее боковые грани равные равнобедренные треугольники. Буратино лазил наверх и измерил угол грани при вершине (AMD, на рис. 45). Получилось 100. А лиса Алиса говорит, что он перегрелся на солнце, ведь такого не может быть. Права ли она? 6.4. Какое минимальное число плоских разрезов нужно сделать, чтобы разделить куб на 64 маленьких кубика? После каждого разреза разрешается перекладывать части куба как угодно Деревянный куб покрасили снаружи белой краской, затем каждое его ребро Рис. 45 разделили на 5 равных частей, после чего распилили так, что получились маленькие кубики, у которых ребро в 5 раз меньше, чем у исходного куба. Сколько получилось маленьких кубиков? У скольких кубиков окрашены три грани? Две грани? Одна грань? Сколько осталось неокрашенных кубиков? 6.6. Арбуз разрезали на 4 части и съели. Получилось 5 корок. Может ли такое быть?
28 28 7. Задачи на раскраску 6.7. На какое наибольшее число частей можно разрезать блин тремя прямолинейными разрезами? Сколько частей может получиться при трех разрезах каравая буханкаа? 7. Задачи на раскраску Урок 7.1 Тема: Раскраска помогает решать задачи. Цель: Научиться доказывать, что некоторые задачи на разрезание не имеют решений, с помощью удачно выбранной раскраски (например, раскраска в шахматном порядке), тем самым совершенствовать логическую культуру учащихся. Задачи Нетрудно доказать, что решение задачи на разрезание какойнибудь фигуры на части возможно: достаточно предоставить какойнибудь способ разрезания. Найти все решения, то есть все способы разрезания, уже труднее. А доказать, что разрезание невозможно, тоже достаточно трудно. Сделать это в некоторых случаях нам помогает раскраска фигуры Взяли квадрат клетчатой бумаги размером 8 8, отрезали от него две клетки (левую нижнюю и правую верхнюю). Можно ли полученную фигуру полностью покрыть «доминошками» прямоугольниками 1 2? 7.2. На шахматной доске стоит фигура «верблюд», которая каждым ходом сдвигается на три клетки по вертикали и одну по горизонтали, или на три по горизонтали и одну по вертикали. Может ли «верблюд», сделав несколько ходов, попасть в клетку, соседнюю исходной по стороне? 7.3. В каждой клетке квадрата 5 5 сидит жук. По команде каждый жук переполз на одну из соседних по стороне клеток. Может ли после этого оказаться так, что в каждой клетке снова будет сидеть ровно один жук? А если бы исходный квадрат имел размеры 6 6? 7.4. Можно ли разрезать квадрат клетчатой бумаги размером 4 4 на один пьедестал, один квадрат, один столбик и один зигзаг ?
М. А. Екимова, Г. П. Кукин МЦНМО Москва, 2002 УДК 514.11 ББК 22.151.0 Е45 Е45 Екимова М. А., Кукин Г. П. Задачи на разрезание. М.: МЦНМО, 2002. 120 с.: ил. Серия: «Секреты преподавания математики». Эта
В.А. Смирнов, И.М. Смирнова, И.В. Ященко КАКОЙ БЫТЬ НАГЛЯДНОЙ ГЕОМЕТРИИ В 5 6 КЛАССАХ Результаты ГИА и ЕГЭ по математике показывают, что основная проблема геометрической подготовки учащихся связана с недостаточно
Задачи на решётках В. В. Вавилов, О. Н. Герман, А. В. Устинов 1 Базисы решёток 1. Пара векторов a = me 1 ne 2 и b = ke 1 le 2, где m, n, k, l целые числа, тогда и только тогда порождает ту же решетку,
И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Разрезания Геометрические фигуры называются равными, если их можно наложить друг на друга так, чтобы они полностью совпали. 1. Разрежьте каждую фигуру на
В.А. Смирнов, И.М. Смирнова ГЕОМЕТРИЯ Пособие для подготовки к ГИА Задачи на выбор верных утверждений 2015 1 ВВЕДЕНИЕ Данное пособие предназначено для подготовки к решению геометрических задач ГИА по математике.
Тест 448 Вертикальные углы 1. Если углы не вертикальные, то они не равны. 2. Равные углы являются вертикальными углами, только если они центрально. симметричны. 3. Если углы равны и их объединение имеет
И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Примеры и конструкции 1. (Всеросс., 2018, ШЭ, 5.2) Девочка заменила каждую букву в своём имени её номером в русском алфавите. Получилось число 2011533.
ЛЕКЦИЯ 24 ПЛОСКИЕ ГРАФЫ 1. Формула Эйлера для плоских графов Определение 44: Плоским графом называется изображение графа на плоскости без самопересечений. Замечание Граф не есть то же самое, что плоский
Среднее (полное) общее образование М.И.Башмаков Математика 11 класс Сборник задач 3-е издание УДК 372.851(075.3) ББК 22.1я721 Б336 Башмаков М. И. Б336 Математика. 11 класс. Сборник задач: среднее (полное)
В.А. Смирнов 1. Распознавание фигур 1. Какой многогранник называется кубом? 2. Сколько у куба вершин, ребер, граней? 3. Изобразите куб на клетчатой бумаге. 4. Какой многогранник называется параллелепипедом?
В.А. Смирнов, И.В. Ященко ФИГУРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ Пособие для подготовки к ЕГЭ 2013 ВВЕДЕНИЕ Данное пособие предназначено для подготовки к решению геометрических задач ЕГЭ по математике. Его целями являются:
1 научиться использовать геометрический язык и геометрическую символику для описания предметов окружающего мира; проводить несложные рассуждения и обоснования в процессе решения задач, предусмотренных
МАТЕМАТИКА 5.1-5.3 классы (технологический профиль) Банк заданий модуль «Геометрия» «Треугольники и четырехугольники. Прямые и окружность. Симметрия. Многогранники» Основные теоретические сведения, необходимые
Задания на Третий Минский городской открытый турнир юных математиков 2016 (младшая лига, 5-7 классы) 10-12 марта 2016 года Предварительные заявки с указанием учреждения образования, руководителя, его телефона
Муниципальное бюджетное дошкольное образовательное учреждение «Детский сад 30» Центрального района г. Барнаула КОНСУЛЬТАТИВНО-РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ВОСПИТАТЕЛЕЙ на тему: «Знакомство детей дошкольного
1 Правило крайнего Игорь Жук (Альфа, 1(4), 1999) Рассмотрим для начала следующие три задачи: Задача1. На бесконечном листе клетчатой бумаги в каждой клетке записано некоторое натуральное число. Известно,
Знание это самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само оно не приходит. Абу-р-Райхан ал-буруни «Понятие площади многоугольника» Геометрия 8 класс 1 ХАРАКТЕРИСТИКА МНОГОЧЛЕНОВ Замкнутая ломаная,
Пояснительная записка 1. Общая характеристика курса Данная программа составлена в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования и предназначена
Мастер-класс «Геометрия и стереометрия на ЕГЭ по математике, Октябрь 2017. Для решения задач необходимы знания о геометрических фигурах и их свойствах, вычислении площадей плоских фигур, объемах
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 2» Приложение 3.20. Рабочая программа по курсу «Наглядная геометрия» 5-6 классы Разработчики: Овчинникова Н.В.,
Тема 1. Четность 1. На столе лежат 13 шестеренок, соединенных в замкнутую цепочку. Могут ли все шестеренки вращаться одновременно? 2. Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 13 звенной ломаной,
Разбор задач третьей части заданий 1 2 Электронная школа Знаника Разбор задач третьей части заданий 4 класс 6 7 8 9 10 А В А В Г Задача 6 Внутри туннеля через каждые 10 м расположены контрольные пункты.
IX Всероссийская смена «Юный математик». ВДЦ «Орлёнок». VI Турнир математических игр. Математическая игра «Дуэль». Младшая лига. Решения. 08 сентября 2013 года 1. В двух группах учится одинаковое количество
Занимательные задачи с кубиками Задача 1. Занумеруйте 8 вершин кубика порядковыми числами (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) так, чтобы сумма номеров на каждой из шести его граней оказалась одинаковой (рис. 1а).
Банк заданий по математике 6 класс «Многоугольники и многогранники» 1. Многогранник это замкнутая поверхность, составленная из: параллелограммов многоугольников и треугольников многоугольников многоугольников
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Заочная школа МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ 0-й класс, задание 3. Новосибирск
Рабочая программа учебного предмета «Мир знаков и чисел» 5 класс 1.Планируемые результаты освоения учебного предмета «Мир знаков и чисел» овладение геометрическим языком, использование его для описания
Внеклассное занятие по наглядной геометрии в 7 классе. Тема: «Геометрия ножниц. Задачи на разрезание и складывание фигур»
И.М. СМИРНОВА, В.А. СМИРНОВ ГЕОМЕТРИЯ НА КЛЕТЧАТОЙ БУМАГЕ Учебное пособие для общеобразовательных учреждений Москва 2009 ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемое пособие содержит пятьдесят шесть задач на построение и
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ 2 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1 Понятие преобразования Пример 1. Преобразование концентрических окружностей друг в друга. Окружность с 1 преобразуется в концентрическую ей окружность c 2 как показано
Осенний физико-математический интенсив «100 часов» ПОЛИМИНО Игры и головоломки с клетчатыми фигурами Хозин Михаил Анатольевич Дзержинск, 29 октября 2 ноября 2016 г. ЧТО ТАКОЕ ПОЛИМИНО? Всем известно домино
7 фигур нарисованы по точкам как показано на рисунках ниже. C А G B F Покажите, как из этих элементов составить фигуры на рисунках ниже D E А) (балла балл 0 баллов) Б) (балла балл 0 баллов) В) (3 балла
ЕГЭ 2010. Математика. Задача B9. Рабочая тетрадь Смирнов В.А. (под редакцией А. Л. Семенова и И.В.Ященко) М.: Издательство МЦНМО; 2010, 48 стр. Рабочая тетрадь по математике серии «ЕГЭ 2010.Математика»
1) IDm2014_006 ответы конкурсного тура 2) Руководитель команды Пояркова Ольга Сергеевна 3) Технический исполнитель (координатор) нет 4) URL веб-странички с ответами конкурсного тура (если есть) не 5) Таблица
10.1 (технологический профиль), 10.2 (профильный уровень) 2018-2019уч.год Примерный банк заданий для подготовки к тестированию по математике, раздел «Геометрия» (учебник Атанасян Л.С., профильный уровень)
И. М. Смирнова, В. А. Смирнов Правильные, полуправильные и звездчатые многогранники Москва Издательство МЦНМО 010 УДК 514.11 ББК.151.0 С50 Оглавление С50 Смирнова И. М., Смирнов В. А. Правильные, полуправильные
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ Новосибирск I. Проектирование
2016 2017 учебный год 5 класс 51 Расставьте в записи 2 2 2 2 2 скобки и знаки действий так, чтобы получилось 24 52 Аня лжет по вторникам, средам и четвергам и говорит правду во все остальные дни недели
Тема 16. Многогранники 1. Призма и её элементыя: Призма это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, находящимися в параллельных плоскостях, а остальные грани параллелограммами.
Геометрия до геометрии. КПК, Геометрия, Третье Занятие (Максимов Д.В.) 28 июня 2017 года Наглядная геометрия Куб 3x3x3 сложен из 13 белых и 14 темных кубиков. На каком из рисунков он изображен? Снизу изображен
7 класс 7.1. Может ли оказаться, что эту задачу правильно решит 1000 участников олимпиады, причем среди них мальчиков будет на 43 больше, чем девочек? 7.2. LADA и Лера загадали по натуральному числу. Если
Комитет Администрации Змеиногорского района Алтайского края по образованию и делам молодежи Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Змеиногорская средняя общеобразовательная школа с углублённым
Вступительный экзамен в Вечернюю математическую школу при факультете ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова (29 сентября 2018 года) 8-9 классы 1. Команды «Математики», «Физики» и «Программисты» сыграли в футбол
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение города Абакана «Средняя общеобразовательная школа 11» ПРОГРАММА внеурочной деятельности кружка «Юный математик» для 1-4 классов Программа по внеурочной
Тема I. Четность Задача 1. Квадратная таблица 25 25 раскрашена в 25 цветов так, что в каждой строке и в каждом столбце представлены все цвета. Докажите, что если расположение цветов симметрично относительно
Множества. Операции над множествами 1. Верно ли, что для любых множеств A, B выполняется равенство A \ (A \ B) A B? 2. Верно ли, что для любых множеств A, B выполняется равенство (A \ B) (B \ A)
Код раздела Требования (умения), проверяемые заданиями итоговой работы Открытый банк заданий по предмету «Математика» для обучающихся четвёртого класса Задания 4. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ОТНОШЕНИЯ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
Изображение многогранников За изображение фигуры принимается фигура, подобная ее проекции на некоторую плоскость. Выбирается такое изображение, которое дает верное представление о форме фигуры, является
Задачи для 5 класса Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mathnet.spb.ru в коробочке 5. Кто выиграет, если будет играть наилучшим образом? 2. В квадрате 5 5 проведены косильной лески, разбивающие его на
Управление образования администрации Красногвардейского района Муниципальное общеобразовательное учреждение «Kalina средняя общеобразовательная школа «Утверждаю: Директор МБОУ «Kalina СОШ» Белоусова
Двенадцатая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Четырнадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 17 апреля 2016 года Решения задач 8 9 класс 1. (А. Блинков) В шестиугольнике равны
Задания Г.11.5.16. S бок = P осн. H формула для нахождения боковой поверхности призмы Г.11.5.17. S бок = 1 P осн. h формула для нахождения боковой 2 поверхности пирамиды 6. Разные задачи Г-10.6.1.
VIII командно-личный турнир «Математическое многоборье» 2 7 ноября 2015 года, г. Москва Геометрия (решения) Младшая лига 1. Дана окружность и ее хорда. В концах хорды к окружности проведены касательные
Квадратный лист клетчатой бумаги разбит на меньшие квадраты отрезками, идущими по сторонам клеток. Докажите, что сумма длин этих отрезков делится на 4. (Длина стороны клетки равна 1).
Решение: Пусть Q – квадратный лист бумаги, L(Q) – сумма длин тех сторон клеток, которые лежат внутри его. Тогда L(Q) делится на 4, так как все рассматриваемые стороны разбиваются на четверки сторон, получающихся друг из друга поворотами на 90 0 и 180 0 относительно центра квадрата.
Если квадрат Q разделен на квадраты Q 1. …, Q n. то сумма длин отрезков деления равна
L (Q). L (Q 1). …. L (Q n). Ясно, что это число делится на 4, так как числа L(Q), L(Q 1), …, L(Q n) делится на 4.
Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки какой-либо горизонтали или вертикали. Может ли при этом получиться доска, у которой ровно одна черная клетка?
Решение: При перекрашивании горизонтали или вертикали, содержащей k черных и 8-k белых клеток, получится 8-k черных и k белых клеток. Поэтому число черных клеток изменится на (8-k)-k=8-2k, т.е. на четное число. Так как четность числа черных клеток сохраняется, из исходных 32 черных клеток мы не сможем получить одну черную клетку.
Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки, расположенные внутри квадрата размером 2 х 2. может ли при этом на доске остаться ровно одна черная клетка?
Решение: При перекрашивании квадрата 2 х 2, содержащего k черных и 4-k белых клеток, получится 4-k черных и k белых клеток. Поэтому число черных клеток изменится на (4-k)-k=4-2k, т.е. на четное число. Так как четность числа черных клеток сохраняется, из исходных 32 черных клеток мы не сможем получить одну черную клетку.
Докажите, что выпуклый многоугольник нельзя разрезать на конечное число невыпуклых четырехугольников.
Решение: Предположим, что выпуклый многоугольник M разрезан на невыпуклые четырехугольники M 1 ,…, M n. Каждому многоугольнику N поставим в соответствие число f(N), равное разности между суммой его внутренних углов, меньших 180, и суммой углов, дополняющих до 360 его углы, больше 180. Сравним числа А= f(М) и В=f(М 1)… f(М n). Рассмотрим для этого все точки, являющиеся вершинами четырехугольников М 1 …, М n. Их можно разбить на четыре типа.
Вершины многоугольника М. Эти точки дают одинаковые вклады в А и В.
Точки на сторонах многоугольника М или М 1.Вклад каждой такой точки в В на
Внутренние точки многоугольника, в которых сходятся углы четырехугольника,
меньшие 180. Вклад каждой такой точки в В на 360 больше, чем в А.
Внутренние точки многоугольника М, в которых сходятся углы четырехугольников, причем один из них больше 180. Такие точки дают нулевые вклады в А и В.
В итоге получаем А 0, а В=0. Неравенство А 0 очевидно, а для доказательства равенства В=0 достаточно проверить, что если N-невыпуклый четырехугольник, то f(N)=0. Пусть углы N равны аbсd. У любого невыпуклого четырехугольника ровно один угол больше 180, поэтому f(N)=bcd-(360-a)=abcd-360=0.
Получено противоречие, поэтому выпуклый многоугольник нельзя разрезать на конечное число невыпуклых четырехугольников.
В центре каждой клетки шахматной доски стоит по фишке. Фишки переставили так, что попарные расстояния между ними не уменьшились. Докажите, что в действительности попарные расстояния не изменились.
Решение: Если хотя бы одно из расстояний между фишками увеличилось бы, то увеличилась бы и сумма всех попарных расстояний между фишками, но сумма всех попарных расстояний между фишками не изменяется при любой перестановке.
Квадратное поле разбито на 100 одинаковых квадратных участков, 9 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за год распространяется на те и только те участки, у которых не менее двух соседних (т.е. имеющих общую сторону) участков уже поросли бурьяном. Докажите, что поле никогда не зарастет бурьяном полностью.
Решение: Легко проверить, что длина границы всего заросшего бурьяном участка (или нескольких участков) не возрастет. В начальный момент она не превосходит 49=36, поэтому в конечный момент она не может быть равной 40.
Следовательно, поле никогда не зарастет бурьяном полностью.
Дан выпуклый 2m-угольник А 1 …А 2 m. Внутри его взята точка Р, не лежащая ни на одной из диагоналей. Докажите, что точка Р принадлежит четному числу треугольников с вершинами в точках А 1 ,…, А 2 m.
Решение: Диагонали разбивают многоугольник на несколько частей. Будем называть соседними те из них, у которых есть общая сторона. Ясно, что из любой внутренней точки многоугольника можно попасть в любую другую, переходя каждый раз только из соседней части в соседнюю. Часть плоскости, лежащую вне многоугольника, также можно считать одной из этих частей. Число рассматриваемых треугольников для точек этой части равно нулю, поэтому достаточно доказать, что при переходе из соседней части в соседнюю четность числа треугольников сохраняется.
Пусть общая сторона двух соседних частей лежит на диагонали (или стороне) PQ. Тогда всем рассматриваемых треугольникам, кроме треугольников со стороной PQ, обе эти части одновременно либо принадлежат, либо не принадлежат. Поэтому при переходе из одной части в другую число треугольников изменяется на k 1.k 2. где k 1.число вершин многоугольника, лежащих по одну сторону от PQ. Так как k 1 k 2 =2m-2, то число k 1.k 2 четно.
Прямоугольник. Свойства прямоугольника. Решение задач.
Задачи на разрезание все их сюжеты можно. Задачи на разрезание.docx. задачи на разрезание Разделить крест на фигуры из 5 клеток
- Квадрат содержит 16 клеток. Разделите квадрат на две равные части так, чтобы леска разреза шла по сторонам клеток. (Способы разрезания квадрата на две части будем считать различными, если части квадрата, полученные при одном способе разрезания, не равны частям, полученным при другом способе.) Сколько всего решений имеет задача?
- Прямоугольник 3Х4 содержит 12 клеток. Найдите пять способов разрезания прямоугольника на две равные части так, чтобы леска разреза шла по сторонам клеток (способы разрезания считаются различными, если части, полученные при одном способе разрезания, не равны частям, полученным при другом способе).
- Прямоугольник 3Х5 содержит 15 клеточек и центральная клетка удалена. Найдите пять способов разрезания оставшейся фигуры на две равные части так, чтобы леска разреза шла по сторонам клеток.
- Квадрат 6х6 разграфлен на 36 одинаковых квадратов. Найдите пять способов разрезания квадрата на две равные части так, чтобы леска разреза шла по сторонам квадратов. Примечание: задача имеет более 200 решений.
- Разделите квадрат 4×4 на четыре равные части так, чтобы леска разреза шла по сторонам клеток. Сколько различных способов разрезания вы найдете?
- Разделите фигуру (рис.5) на три равные части так, чтобы леска разреза шла по сторонам квадратов.
Разделите фигуру (рис.6) на четыре равные части так, чтобы леска разреза шла по сторонам квадратов.
Разделите фигуру (рис.7) на четыре равные части так, чтобы косильной лески разрезов шли по сторонам квадратов. Найдите как можно больше решений.
Разделите квадрат 5×5 клеток с вырезанной центральной клеткой на четыре равные части.
Разрежьте фигуры, изображенные на рис.8, на две равные части по линиям сетки, причем в каждой из частей должен быть кружок.
Фигуры, изображенные на рис.9, надо разрезать по линиям сетки на четыре равные части так, чтобы в каждой части был кружок. Как это сделать?
Разрежьте фигуру, изображенную на рис.10, по линиям сетки на четыре равные части и сложите из них квадрат так, чтобы кружочки и звездочки расположились симметрично относительно всех осей симметрии квадрата.
Разрежьте данный квадрат (рис.11) по сторонам клеток так, чтобы все части были одинакового размера и формы и чтобы каждая содержала по одному кружку и звездочке.
[Интересные задачи] Разрезать фигуру на 4 равные части
Разрежьте квадрат 6×6 из клетчатой бумаги, изображенный на рис.12, на четыре одинаковые части так, чтобы каждая из них содержала три закрашенные клетки.
Учебное занятие: Геометрические задачи (на разрезание)
развитие творческих способностей учащихся
развития внимания, памяти, навыков самостоятельной и коллективной работы
развитие умственной самодеятельности, сообразительности и «смекалки»
Сегодня геометрические задачи (на разрезание) будут связаны с одной на вид простой геометрической фигурой.
Главной заслугой квадрата стало использование его, как удобной единицы площади. Действительно, квадратами очень удобно замащивать плоские участки, а скажем, кругами такого не сделаешь без дыр и наложений. Часто математики вместо слов «нахождение площади» говорят «квадрирование».
Так, задача о нахождении площади круга называется задачей о квадратуре круга. Квадрат-главное действующее лицо в теореме Пифагора.
Разрезать квадратный кусок бумаги на 20 равных треугольников и сложить из них 5 равных квадратов.
Крест, составленный из пяти квадратов, требуется разрезать на такие части, из которых можно было бы составить один квадрат.
Квадрат содержит 16 клеток. Разделите квадрат на две равные части так, чтобы леска разреза шла по сторонам клеток.
Разрежьте квадрат 7×7 на пять частей и переложите их так, чтобы получилось три квадрата: 2×2, 3×3 и 6×6.
Разрежьте квадрат на 4 части одинаковой формы и размера так, чтобы в каждую часть попало ровно по одному заштрихованному квадрату.
Разделить квадрат на более мелкие квадратики одинаковой площади очень просто: достаточно провести сетку равноотстоящих прямых, параллельных сторонам квадрата. Количество полученных квадратиков будет квадратом, да, да! Именно поэтому произведение двух одинаковых чисел назвали квадратом. А можно ли разрезать квадрат на несколько квадратиков, среди которых нет одинаковых?
Этот вопрос долго оставался нерешенным. Многие даже выдающиеся математики считали, что такое разрезание невозможно. Но в 1939 году было построено разбиение квадрата на 55 различных квадратов. В 1940 году были найдены два способа разбиения квадрата на 28 различных квадратов, за тем-на 26 квадратов, а в 1948 году было получено разбиение на 24 различных квадрата. В 1978 году было найдено разбиение 21 различный квадрат и доказано, что разбиение на меньшее число различных квадратов найти уже нельзя.
И закончим сегодняшнее занятие занимательной игрой, связанной тоже с квадратом, «Танграм»
На рисунке показан квадрат, разделенный на 7 частей, из которых можно складывать разнообразные фигуры из альбома, предоставленным учителем.
Все их сюжеты можно условно поделить на следующие виды и подвиды: на заданное число конгруэнтных и подобных ей фигур (такие фигуры получили название «делящихся»); определённым количеством прямых на максимально возможное число частей, не обязательно равных. Трансформирование – требуется разрезать одну фигуру так, чтобы их её частей можно было сложить вторую заданную фигуру
Задача 1. Квадрат содержит 16 клеток. Разделите квадрат на две равные части так, чтобы леска разреза шла по сторонам клеток. (Способы разрезания квадрата на две части будем считать различными, если части квадрата, полученные при одном способе разрезания, не равны частям, полученным при другом способе.) Сколько всего решений имеет задача?
При построении ломаной, чтобы не потерять какое-либо решение, можно придерживаться такого правила. Если следующее звено ломаной можно нарисовать двумя способами, то сначала нужно заготовить второй такой же рисунок и выполнить этот шаг на одном рисунке первым, а на другом вторым способом (на рис. 3 показаны два продолжения рис. 2 (а)). Аналогично нужно поступать, когда способов не два, а три (на рис. 4 показаны три продолжения рис. 2 (б)). Указанный порядок действий помогает найти все решения.
Задача 2 Прямоугольник 4 × 9 клеток разрежьте по сторонам клеток на две равные части так, чтобы из них затем можно было сложить квадрат.
Решение. Посмотрим, сколько клеток будет содержать квадрат. 4 9=36. значит, сторона квадрата. 6 клеток, так как 36=6 6. Как разрезать прямоугольник. показано на рис. 95 (б). Это способ разрезания называют ступенчатым. Как из полученных частей составить квадрат. показано на рис. 95 (в).
Задача 3. Можно ли квадрат 5× 5 клеток разрезать на две равные части так, чтобы леска разреза шла по сторонам клеток? Ответ обоснуйте.
Решение. Нельзя, так квадрат состоит из 25 клеток. Его нужно разрезать на две равные части. Поэтому в каждой части должно быть по 12, 5 клеток, а значит, леска разреза будет проходить не по сторонам клеток.
Пентамино 12 фигур, каждая из которых состоит из пяти одинаковых квадратов, причем квадраты «соседствуют « друг с другом только сторонами. «ПЕНТА». «ПЯТЬ» (с греческого)
Пентамино Игра, заключающая в складывании различных фигур из заданного набора Придумана американским математиком С. Голомбом в 50 – ые годы XX века
Выложите плитками 21 пол в комнате размером 56 (сплошной паркет). Пусть у нас имеется неограниченный запас прямоугольных плиток размером 21, и мы хотим выложить ими пол прямоугольной формы, причем никакие две плитки не должны перекрываться.
В этом случае одно из чисел p или q должно быть четно. Если, например, p=2 r, то пол можно выложить так, как показано на рисунке. Но в таких паркетах есть косильной лески разрыва, которые пересекают всю «комнату» от стены до стены, но не пересекают плитки. А на практике используются паркеты без таких линий – сплошные паркеты.
Естественно возникает вопрос, при каких p и q прямоугольник pq допускает сплошное разбиение на плитки 21?
На листе клетчатой бумаги размерами 1010 клеток наметьте разрезы, с помощью которых можно получить как можно больше целых фигур, изображенных на рисунке. Фигуры, изображенные на рисунке, можно переворачивать.
Ответ: В данном случае умещается 24 целых фигуры. Других способов, при которых получается больше целых фигурок, пока не найдено.
Доску размером 8× 8 разрезали на четыре части и сложили из них прямоугольник размером 5× 13. Откуда появилась лишняя клетка? 8 8 13 5 64 квадратика 65 квадратиков
Доску размером 8× 8 разрезали на четыре части и сложили из них прямоугольник размером 5× 13. Откуда появилась лишняя клетка? 8 8
Доску размером 8× 8 разрезали на четыре части и сложили из них прямоугольник размером 5× 13. Откуда появилась лишняя клетка? 2 1 3 4
Доску размером 8× 8 разрезали на четыре части и сложили из них прямоугольник размером 5× 13. Откуда появилась лишняя клетка? 1 2 3 4
Ответ: Диагональная леска левого рисунка не прямая; на точном рисунке виден параллелограмм площади 1, как и следовало ожидать.
Последовательность Фибоначчи j 1 = 1, j 2 = 1, j 3 = 2, j 4 = 3, j 5 = 5, j 6 = 8, j 7 = 13, j 8 = 21, j 9 = 34, j 10 = 55, j 11 = 89. обладает следующим свойством: квадрат числа Фибоначчи на 1 отличается от произведения предшествующего ему и следующего за ним чисел Фибоначчи; точнее говоря, jn 2 (– 1)n = jn – 1 jn 1.
Например, при n = 6 формула превращается в равенство 82 1 = 5 13, а при n = 7. в равенство 132 – 1 = 8 21. Советую нарисовать картинки, аналогичные рисунку к условию задачи, для нескольких других значений n.
Задачи о раскрасках
Решение: Рассмотрим правильный треугольник со стороной 1.
Разрезать фигуру на 10 равных частей. Задачи на разрезание все их сюжеты можно
Назад Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Опыт показывает, что при использовании практических методов обучения удается сформировать у учащихся ряд мыслительных приемов, необходимых для правильного вычленения существенных и несущественных признаков при ознакомлении с геометрическими фигурами. развивается математическая интуиция, логическое и абстрактное мышление, формируется культура математической речи, развиваются математические и конструкторские способности, повышается познавательная активность, формируется познавательный интерес, развивается интеллектуальный и творческий потенциал.В статье приводится ряд практических задач на разрезания геометрических фигур на части с целью составить из этих частей новую фигуру. Ученики работают над заданиями в группах. Затем каждая группа защищает свой проект.
Две фигуры называются равносоставленными, если, определённым образом разрезав одну из них на конечное число частей, можно (располагая эти части иначе) составить из них вторую фигуру. Итак, метод разбиения основан на том, что всякие два равносоставленных многоугольника равновелики. Естественно поставить обратный вопрос: всякие ли два многоугольника, имеющих одинаковую площадь, равносоставлены? Ответ на этот вопрос был дан (почти одновременно) венгерским математиком Фаркашем Бойяи (1832г.) и немецким офицером и любителем математики Гервином (1833г.): два многоугольника, имеющих равные площади, равносоставленны.
Теорема Бойяи-Гервина гласит: любой многоугольник можно так разрезать на части, что из этих частей удастся сложить квадрат.
Математика 3 класс. Равносоставленные и равновеликие фигуры
Разрежьте прямоугольник a х 2a на такие части, чтобы из них можно было составить квадрат.
Прямоугольник ABCD разрежем на три части по линиям MD и MC (М – середина АВ)
Треугольник АMD переместим так, чтобы вершина М совместилась с вершиной С, катет АМ переместится на отрезок DС. Треугольник МВС переместим влево и вниз так, что катет МВ наложится на половину отрезка DС. (Рисунок 1)
Разрезать равносторонний треугольник на части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.
Обозначим данный правильный треугольник АВС. Необходимо разрезать треугольник АВС на многоугольники так, чтобы из них можно было сложить квадрат. Тогда эти многоугольники должны иметь по крайней мере по одному прямому углу.
Пусть К – середина СВ, Т – середина АВ, точки М и Е выберем на стороне АС так, что МЕ=АТ=TV=ВК=СК=а. АМ=ЕС=а /2.
Проведем отрезок МК и перпендикулярные к нему отрезки ЕР и ТН. Разрежем треугольник на части вдоль построенных линий. Четырехугольник КРЕС повернем по часовой стрелке относительно вершины К так, что СК совместится с отрезком КВ. Четырехугольник АМНТ повернем по часовой стрелке относительно вершины Т так, что АТ совместится с TV. Треугольник МЕР переместим так, что в результате получится квадрат. (Рисунок 2)
Разрезать квадрат на части так, чтобы из них можно было сложить два квадрата.
Обозначим исходный квадрат ABCD. Отметим середины сторон квадрата – точки M, N, K, H. Проведем отрезки МТ, НЕ, КF и NР – части отрезков МС, НВ, КА и ND соответственно.
Разрезав квадрат ABCD по проведенным линиям, получим квадрат PTEF и четыре четырехугольника MDHT, HCKE, KBNF и NAMP.
PTEF – уже готовый квадрат. Из оставшихся четырехугольников составим второй квадрат. Вершины A, B, C и D совместим в одну точку, отрезки АМ и ВК, MD и CS: GO, BN и СН, DH и АN совместятся. Точки Р, Т, Е и F станут вершинами нового квадрата. (Рисунок 3)
Из плотной бумаги вырезаны равносторонний треугольник и квадрат. Разрезать эти фигуры на многоугольники так, чтобы из них можно было сложить один квадрат, при этом части должны полностью его заполнять и не должны пересекаться.
Треугольник разрежем на части и составим из них квадрат так, как показано в задании 2. Длина стороны треугольника – 2а. Теперь следует разделить на многоугольники квадрат так, чтобы из этих частей и того квадрата, который получился из треугольника, составить новый квадрат. Возьмем квадрат со стороной 2а. обозначим его LRSD. Проведем взаимно перпендикулярные отрезки UG и VF так, что DU=SF=RG=LV. Разрежем квадрат на четырехугольники.
Возьмем квадрат, составленный из частей треугольника. Выложим четырехугольники – части квадрата так, как показано на рисунке 4.
Крест составлен из пяти квадратов: один квадрат в центре, а остальные четыре прилежат к его сторонам. Разрезать его на такие части, чтобы из них можно было составить квадрат.
Соединим вершины квадратов так, как показано на рисунке 5. Отрежем “внешние” треугольники и переместим их на свободные места внутри квадрата АВСК.
Перекроить два произвольных квадрата в один.
На рисунке 6 показано, как нужно разрезать и переместить части квадратов.
Небольшая историческая справка: Задачами на разрезание увлекались многие ученые с древнейших времен. Решения многих простых задач на разрезание были найдены еще древними греками, китайцами, но первый систематический трактат на эту тему принадлежит перу Абуль-Вефа. Геометры всерьез занялись решением задач на разрезание фигур на наименьшее число частей и последующее построение другой фигуры в начале 20 века. Одним из основателей этого раздела был знаменитый основатель головоломок Генри Э.Дьюдени.
В наши дни любители головоломок увлекаются решением задач на разрезание прежде потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берется их решать, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению. (На занятии мы будем указывать лишь один из возможных примеров разрезания. Можно допустить, что у учащихся может получиться какая-то другая верная комбинация.- не надо этого бояться).
Данное занятие предполагается провести в виде практического занятия. Разбить участников кружка на группы по 2-3 человека. Каждой из групп предоставить заранее подготовленные учителем фигуры. Учащиеся располагают линейкой (с делениями), карандашом, ножницами. Разрешается производить с помощью ножниц лишь прямолинейные разрезы. Разрезав какую-нибудь фигуру на части, необходимо составить другую фигуру из тех же частей.
1). Попробуйте разрезать изображенную на рисунке фигуру на 3 равные по форме части:
Подсказка: Маленькие фигуры очень похожи на букву Т.
2). Разрежьте теперь эту фигуру на 4 равные по форме части:
Подсказка: Легко догадаться, что маленькие фигурки будут состоять из 3 клеточек, а фигур из трех клеточек не так много. Их всего два вида: уголок и прямоугольник.
3). Разделите фигуру на две одинаковые части, и из полученных частей сложите шахматную доску.
Подсказка: Предложить начать выполнять задание со второй части, как бы получить шахматную доску. Вспомнить, какую форму имеет шахматная доска (квадрат). Посчитать имеющееся количество клеточек в длину, в ширину. (Напомнить, что клеток должно быть 8).
4). Попробуйте тремя движениями ножа разрезать сыр на восемь равных кусков.
Подсказка: попробовать разрезать сыр вдоль.
1). Вырежьте квадрат из бумаги и выполните следующее:
разрежьте на такие 4 части, из которых можно составить два равных меньших квадрата.
разрежьте на пять частей. четыре равнобедренных треугольника и один квадрат. и сложите их так, чтобы получилось три квадрата.
Кружок 7 класса
Руководитель Варвара Алексеевна Косоротова2009/2010 учебный год
Занятие 8. Разрезания на клетчатом листе бумаги
При решении задач такого типа полезно применять следующие соображения:
- Площадь. Если требуется разбить фигуру на несколько равных частей, стоит сначала найти площадь разрезаемой фигуры, а потом — каждой из частей. Сходным образом, если исходную фигуру нужно разбить на несколько фигур заданного вида, стоит предварительно посчитать, сколько их должно быть. Такие же соображения могут помочь и при решении других задач на разрезание. Для иллюстрации этой идеи автор этих строк добавил в список задачу 13, которой не было среди задач, предлагавшихся на занятии.
- Симметрия. Свойствам симметрии следует уделять внимание, например, в случае, когда требуется разрезать одну фигуру на части и из них собрать другую фигуру.
К простым задачам приведены только ответы, к более сложным — еще и соображения, помогающие получить ответ. Разрежьте квадрат 5×5 с дыркой (см. рисунок) на две равные части двумя способами. Способы разрезания квадрата на две части будем считать различными, если части квадрата, полученные при одном способе разрезания, отличаются по форме или размеру от частей, полученных при другом способе (то есть их нельзя совместить наложением). Разделите квадрат 4×4 на две равные части четырьмя различными способами так, чтобы леска разреза шла по сторонам клеток. Флаг. 1. Разрежьте флаг с 6 полосами на две части так, что бы из них можно было сложить флаг с 8 полосами.Флаг. 2. Разрежьте флаг А на четыре части так, чтобы из них можно было сложить флаг Б.
Разрежьте фигуру на 4 равные части.Из двух — один. Разрежьте квадрат с дыркой двумя прямыми на 4 части так, чтобы из них и еще одного обычного квадрата 5×5 можно было сложить новый квадрат.11. Зубчатый квадрат. Превратите зубчатый квадрат в обыкновенный, разрезав его на 5 частей. 12. Мальтийский крест. 2. Разрежьте «мальтийский крест» (см. задачу 8) на 5 частей так, чтобы из них можно было сложить квадрат. 13. Незнайка разрезал изображенную на рисунке фигуру на трехклеточные и четырехклеточные уголки (такие, как на рисунке). Сколько каких уголков могло получиться у Незнайки? Рассмотрите все возможные случаи!
Решение. Площадь исходной фигуры равна 22 (за единицу площади принимаем одну клетку). Пусть при разрезании использовано n четырехклеточных и k трехклеточных уголков. Тогда выразим площадь большой фигуры как сумму площадей уголков: 22=3 k 4 n. Перепишем это равенство в таком виде: 22 − 4 n =3 k. В левой части этого равенства стоит четное число, которое, однако, не делится на 4. Значит, 3 k — тоже четное число, не делящееся на 4, а следовательно, таковым является и само число k. Кроме того, в правой части равенства стоит число, кратное 3, поэтому 22 − 4 n тоже кратно 3. Таким образом, 22 − 4 n кратно 6. Перебирая значения n от 0 до 5 (при n ≥6 22 − 4 n
Обучающий Tour
Задачи для самостоятельного решения командами «младшей» возрастной группы
Улитка ползёт вверх по столбу высотой 10 м. За день она поднимается на 5 м, а за ночь — опускается на 4 м. За какое время улитка доберётся от подножья до вершины столба?
Можно ли в тетрадном листке вырезать такую дырку, через которую пролез бы человек?
Зайцы пилят бревно. Они сделали 10 распилов. Сколько получилось чурбачков?
Бублик режут на сектора. Сделали 10 разрезов. Сколько получилось кусков?
На большом круглом торте сделали 10 разрезов так, что каждый разрез идёт от края до края и проходит через центр торта. Сколько получилось кусков?
У двух человек было два квадратных торта. Каждый сделал на своём торте по 2 прямолинейных разреза от края до края. При этом у одного получилось три куска, а у другого — четыре. Как это могло быть?
Зайцы снова пилят бревно, но теперь уже оба конца бревна закреплены. Десять средних чурбачков упали, а два крайних так и остались закреплёнными. Сколько распилов сделали зайцы?
Как разделить блинчик тремя прямолинейными разрезами на 4,5, 6, 7 частей?
На прямоугольном торте лежит круглая шоколадка. Как разрезать торт на две равные части так, чтобы и шоколадка тоже разделилась ровно пополам?
Можно ли испечь такой торт, который может быть разделён одним прямолинейным разрезом на 4 части?
На какое максимальное число кусков можно разделить круглый блинчик при помощи трех прямолинейных разрезов?
Во сколько раз лестница на четвёртый этаж дома длиннее, чем лестница на второй этаж этого же дома?
У Джузеппе есть лист фанеры, размером 22× 15. Джузеппе хочет из него вырезать как можно больше прямоугольных заготовок размером 3× 5. Как это сделать?
В Волшебной Стране свои волшебные законы природы, один из которых гласит: «Ковёр-самолёт будет летать только тогда, когда он имеет прямоугольную форму».
У Ивана-царевича был ковёр-самолёт размером 9 ×12. Как-то раз Змей Горыныч подкрался и отрезал от этого ковра маленький коврик размером 1 ×8. Иван-царевич очень расстроился, и хотел было отрезать ещё кусочек 1 × 4, чтобы получился прямоугольник 8 ×12, но Василиса Премудрая предложила поступить по-другому. Она разрезала ковёр на три части, из которых волшебными нитками сшила квадратный ковёр-самолёт размером 10× 10.
Сможете ли вы догадаться, как Василиса Премудрая переделала испорченный ковёр?
Когда Гулливер попал в Лилипутию, он обнаружил, что там все вещи ровно в 12 раз короче, чем на его родине. Сможете ли вы сказать, сколько лилипутских спичечных коробков поместится в спичечный коробок Гулливера?
На мачте пиратского корабля развевается двухцветный прямоугольный флаг, состоящий из чередующихся чёрных и белых вертикальных полос одинаковой ширины. Общее число полос равно числу пленных, находящихся в данный момент на корабле. Сначала на корабле было 12 пленных, а на флаге — 12 полос; затем два пленных сбежали. Как разрезать флаг на две части, а затем сшить их, чтобы площадь флага и ширина полос не изменились, а число полос стало равным 10?
В круге отметили точку. Можно ли так разрезать этот круг на три части, чтобы из них можно было бы сложить новый круг, у которого отмеченная точка стояла бы в центре?
Можно ли разрезать квадрат на четыре части так, чтобы каждая часть соприкасалась (т. е. имела общие участки границы) с тремя другими?
Задача 19
Листок календаря частично закрыт предыдущим оторванным листком (см. рисунок). Вершины A и B верхнего листка лежат на сторонах нижнего листка. Четвёртая вершина нижнего листка не видна — она закрыта верхним листком. Верхний и нижний листки, естественно, равны между собой.
Какая часть нижнего листка больше — закрытая или открытая?
Вдоль беговой дорожки расставлено 12 флажков на одинаковом расстоянии друг от друга. Спортсмен стартует у первого флажка и бежит с постоянной скоростью. Уже через 12 секунд спортсмен был у 4-го флажка. За какое время он пробежит всю дорожку?
Какой длины получится полоса, если кубический километр разрезать на кубические метры и выложить их в одну леску?
Внутренние покои дворца султана Ибрагима ибн-Саида состоят из 100 одинаковых квадратных комнат, расположенных в виде квадрата 10 ×10 комнат. Если у двух комнат есть общая стена, то в ней обязательно есть ровно одна дверь. А если стена торцевая, то в ней обязательно есть ровно одно окно. Как сосчитать, сколько окон и дверей в покоях Ибрагима ибн-Саида?
Расстояние между Атосом и Арамисом, скачущими по дороге, равно 20 лье. За час Атос покрывает 4 лье, а Арамис — 5 лье. Какое расстояние будет между ними через час?
На линейке длиной 9 см нет делений. Нанесите на неё три промежуточных деления так, чтобы ею можно было измерять расстояние от 1 до 9 см с точностью до 1 см.
Около каждой вершины треугольника напишите какие-нибудь числа, возле каждой стороны треугольника напишите сумму чисел, стоящих на концах этой стороны. Теперь каждое число, стоящее около вершины, сложите с числом, стоящим около противоположной стороны. Как вы думаете, почему получились одинаковые суммы?
Чему равна площадь треугольника со сторонами 18, 17, 35?
Разрежьте квадрат на пять треугольников так, чтобы площадь одного из этих треугольников равнялась сумме площадей оставшихся.
Квадратный лист бумаги разрезали на шесть кусков в форме выпуклых многоугольников; пять кусков затерялись, остался один кусок в форме правильного восьмиугольника (см. рисунок). Можно ли по одному этому восьмиугольнику восстановить исходный квадрат?
Легко можно разрезать квадрат на два равных треугольника или два равных четырехугольника. А как разрезать квадрат на два равных пятиугольника или два равных шестиугольника?
Пошёл Иван-царевич искать похищенную Кощеем Василису Прекрасную. Навстречу ему Леший.
— Знаю, — говорит, — я дорогу в Кощеево Царство, случалось, ходил туда. Шёл я четыре дня и четыре ночи. За первые сутки я прошёл треть пути—прямой дорогой на север. Потом повернул на запад, сутки продирался лесом и прошёл вдвое меньше. Третьи сутки я шёл лесом, уже на юг, и вышел на прямую дорогу, ведущую на восток. Прошагал я по ней за сутки 100 вёрст и попал в Кощеево царство. Ты ходок такой же резвый, как и я. Иди, Иван-царевич, глядишь, на пятый день будешь в гостях у Кощея.
— Нет,— отвечал Иван-царевич, — если всё так, как ты говоришь, то уже завтра я увижу мою Василису Прекрасную.
Прав ли он? Сколько вёрст прошёл Леший и сколько думает пройти Иван-царевич?
Придумайте раскраску граней кубика, чтобы в трёх различных положениях он выглядел, как показано на рисунке. (Укажите, как раскрасить невидимые грани, или нарисуйте развёртку.)
Задача 32
У нумизмата Феди все монеты имеют диаметр не больше 10 см. Он хранит их в плоской коробке размером 30 см 70 см (в один слой). Ему подарили монету диаметром 25 см. Докажите, что все монеты можно уложить в одну плоскую коробку размером 55 см 55 см.
Из квадрата 5×5 вырезали центральную клетку. Разрежьте получившуюся фигуру на две части, в которые можно завернуть куб 2×2×2.
Разрежьте данный квадрат по сторонам клеток на четыре части так, чтобы все части были одинакового размера и одинаковой формы и чтобы каждая часть содержала по одному кружку и по одной звёздочке.
Автостоянка в Цветочном городе представляет собой квадрат 7x 7 клеточек, в каждой из которых можно поставить машину. Стоянка обнесена забором, одна из сторон угловой клетки удалена (это ворота). Машина ездит по дорожке шириной в клетку. Незнайку попросили разместить как можно больше машин на стоянке таким образом, чтобы любая могла выехать, когда прочие стоят. Незнайка расставил 24 машины так, как показано на рис. Попытайтесь расставить машины по-другому, чтобы их поместилось больше.
Петя и Вася живут в соседних домах (см. план на рисунке). Вася живет в четвертом подъезде. Известно, что Пете, чтобы добежать до Васи кратчайшим путем (не обязательно идущим по сторонам клеток), безразлично, с какой стороны обегать свой дом. Определите, в каком подъезде живет Петя.
Предложите способ измерения диагонали обычного кирпича, который легко реализуется на практике (без теоремы Пифагора).
Разрежьте крест, составленный из пяти одинаковых квадратов, на три многоугольника, равных по площади и периметру.
Дан прямоугольный треугольник (см. рисунок). Приложите к нему какой-нибудь треугольник (эти треугольники должны иметь общую сторону, но не должны перекрываться даже частично) так, чтобы получился треугольник с двумя равными сторонами.
Укажите (нарисуйте!) несколько различных решений. Каждое новое решение — дополнительный балл.
У Пети есть три фигуры, вырезанные из бумаги. Каждая из них с одной стороны белая, а с другой — серая. Какие из пяти прямоугольников, изображенных на рисунке, нельзя сложить из этих фигур?
Изображенные на рисунке тела состоят из кубиков. Сколько кубиков в каждом из них?
Из фигур на рисунке к задаче выберите те, которые являются развертками куба. Вырежьте их и покажите, как из них склеить куб.
Выберите кубик соответствующий данной развертке.
На видимых гранях куба проставлены числа 1, 2 и 3. А на развертках — два из названных чисел или одно. Расставьте на развертках куба числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы сумма чисел на противоположных гранях была равна 7.
Пунктирными линиями на рисунке обозначены невидимые ребра куба. Соответственно, сплошными линиями показаны видимые косильной лески. Мы смотрели на куб справа сверху. На рисунках а, б, в, проведите сплошные косильной лески так, чтобы куб был виден
а) Тетраэдр б) куб разрезали по ребрам, выделенным жирными линиями (см. рисунки) и развернули. Нарисуйте получившиеся развертки.
Разрезать квадрат двумя разрезами на 3 прямоугольника
1) Можно ли в тетрадном листке вырезать дырку так, чтобы сквозь нее мог пролезть человек?
В задачах 2-4 равными фигурами считаются такие, которые при переворачивании совпадают. Например, справа от рисунка к задаче 2 показано два варианта фигур, которые могут быть использованы при разрезании.
2) Разрежьте прямоугольник 5х8 на заданные фигуры из четырёх клеток:
3) Разрежьте фигуру на восемь равных частей
4) Разрежьте фигуру на четыре равные части
5) Разрежьте фигуру на пять равных частей
6) Разрежьте фигуру на две такие равные фигуры, чтобы из них можно было бы сложить квадрат.
7) Разрежьте фигуру двумя прямолинейными разрезами на такие части, из которых можно сложить квадрат. Покажите, как его сложить.
8) Имеется пруд квадратной формы (на рисунке. центральный квадрат). По углам растут деревья. Строители решили этот пруд решили расширить так, чтобы соблюдались следующие три условия: чтобы новый пруд был также квадратным, чтобы его площадь увеличилась вдвое, чтобы деревья остались на прежнем месте и не в воде. Как это сделать? Для удобства решения план местности разделён на квадраты.
9) Разрежьте красный прямоугольник так, чтобы из получившихся частей можно было бы составить равновеликий ему прямоугольный треугольник (равновеликий. т.е. равной площади).
10) Разрежьте выделенную красным цветом фигуру на такие части так, чтобы из них можно было бы составить квадрат (равновеликий данной фигуре).
Все эти задачи решаются достаточно легко и служат прекрасной разминкой на индивидуальном занятии. Как правило, школьники легко справляются с такими задачами. Мой многолетний опыт показывает, что задачи на разрезание, где фактически требуется не столько резать бумагу, сколько рисовать косильной лески разрезов, подходит для того, чтобы школьники задавали такие задачки друг другу. обмениваясь ими на переменах в школе и дома, а значит развивали бы в себе логическое мышление и порой даже увлечение математикой. Причём предлагать решать такие задачки можно не только пяти- шестиклассникам, но и школьникам старших классов. Небольшое отвлечение от каких-нибудь тригонометрических или логарифмических уравнений с помощью быстрого несложного решения задач на разрезание ведут к своего рода перезагрузке мозга. И после этого старшеклассники уже легче понимают материал своих классов.
Репетитор по математике, Александр Анатольевич, 8-968-423-9589, подготовка к олимпиадам 5-6 классов